前置芝士：SPFA判负环
对于差分约束系统，就是来解决一系列类似下面的问题：
差分约束系统是一种特殊的(N)元一次不等式组，它包含(N)个变量(X_1...X_n)以及(M)个约束条件。每个约束条件都是由两个变量做差构成的。
我们要求的是，一组解(X_1=a,X_2=b...)满足所有的约束条件。
对于每一个不等式，我们都可以变形成(X_i-X_j<=C)的形式，而移项之后，我们会发现它与最短路算法的松弛操作很相似。也就是说，我们可以从(j)向(i)连一条边长为(C)的有向边，跑最短路。
对于形如(X_i-X_j>=C)的形式，两边乘以(-1)即可。
对于建出来的图，如果存在负环则无解，否则(X_i=dis[i])就是一组解。
对于判负环，那显然就要用到我们的(Spfa)了。
例1：(luogu) (P1993)
显然是一道差分约束的裸题。这是最直接的模型，直接跑即可。
代码：
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cstring>
#define MAXN 10001<<1
using namespace std;
inline int read(){
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){
if(ch=='-')w=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9'){
s=(s<<1)+(s<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return s*w;
}
struct edge{
int nxt,to,dis;
}e[MAXN<<1];
int head[MAXN<<1],dis[MAXN],opt,a,b,c;
int vis[MAXN],n,m,tot,cnt[MAXN];
queue<int>q;
inline void add(int x,int y,int w){
e[++tot].to=y;
e[tot].nxt=head[x];
e[tot].dis=w;
head[x]=tot;
}
bool Spfa(int s){
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
dis[s]=0;q.push(s);vis[s]=1;
while(!q.empty()){
int k=q.front();
q.pop();vis[k]=0;
cnt[k]++;
if(cnt[k]>=n)return 0;
for(int i=head[k];i;i=e[i].nxt){
int j=e[i].to;
if(dis[j]>dis[k]+e[i].dis){
dis[j]=dis[k]+e[i].dis;
if(!vis[j])vis[j]=1,q.push(j);
}
}
}
return 1;
}
bool spfa(int s){
vis[s]=1;
for(int i=head[s];i;i=e[i].nxt){
int j=e[i].to;
if(dis[j]<dis[s]+e[i].dis){
dis[j]=dis[s]+e[i].dis;
if(vis[j])return 0;
if(!spfa(j))return 0;
}
}
vis[s]=0;
return 1;
}
int main(){
n=read(),m=read();
for(int i=1;i<=m;++i){
opt=read(),a=read(),b=read();
if(opt==1){
c=read();//Xi-Xj>=c
add(b,a,c);
}
else if(opt==2){
c=read();
add(a,b,-c);
}
else if(opt==3){
add(a,b,0);
add(b,a,0);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)add(0,i,0),dis[i]=-0x3f;
if(!spfa(0))printf("No
");
else printf("Yes
");
return 0;
}
练习题：
1.(luogu) (P4878)
2.(luogu) (P3275)