对称次模函数
给定一个有限集合V,对称次模函数是定义在(2^V)的一个实函数(f),并且其满足以下两种性质。
次模性：若(A subseteq B,x
otin B)，则有(f(A+{x}) -f(A) ge f(B+{x}) -f(B))
对称性：(f(A)=f(V-A))
割：对与(s,t(s
eq t))，若(s in A,t
otin A)，则称(A)为(s,t)的割。
最小割：对于(s,t)的割中(f(A))最小的那一个(A)，写作(alpha(s,t))。
最小割树(Gomory-Hu tree)：
考虑一棵树(T=(V,E))，使得(alpha(u,v)=min_{(s,t) in path(u,v),}alpha(s,t))。
并且对于((s,t)in E, alpha(s,t)={x|删掉(s,t)后x与s联通})。
一个很自然的问题是最小割树是否存在，本文随后将给出构造性证明。
由于对称性和次模性我们可以得到一些很有用的等式。
次模性的定义和下式等价
(f(A)+f(B) ge f(A igcup B)+ f(A igcap B))
由上面的结论和对称性可以得到
(f(A)+f(B) ge f(A - B)+ f(A - B))
证明十分显然，这里略去。
引理
令(X=alpha(u,v),W=alpha(s,t))。不存在一组((s,t),(u,v))使得他们相交。
即(X,W)要么交集为空，要么存在(X subseteq W)或(W subseteq X)
考虑反证，不失一般性地令 (sin W),(u in X)，并且(s in X)。
那么考虑分类讨论。
Case1 $t
otin X (,那么我们有
)f(X)+f(W) ge f(X igcap W) + f(X igcup W)(
由最小割定义可以得到，)f(X igcap W) ge f(X),f(W)(
所以)f(X igcup W) le f(X),f(W)$，显然矛盾。
Case2 $tin X (,那么我们有 )f(X)+f(W) ge f(X - W) + f(X + W)( 由最小割定义可以得到，)f(X - W) ge f(W)(，)f(W-X) ge f(X)$，矛盾。
考虑构造最小割树。
我们定义一个广义最小割树，即我们有若干个点集({C_i})，然后这些点集通过一些边连成一棵树，并且每一条边((S,T)),其(alpha(S,T))为删掉这条边后剩下的两个不连通的子集。
不难发现上面的最小割树其实就是这里(|C_i|=1)的情况。
考虑每次拿出一个(|C_i| ge 2)的点集(R)，随两个点((u,v))，求出(X=alpha(u,v))，然后将(R)分成(R_1=R igcap X) 和(R_2=R - X)，在((R1,R2))上连一条边，原来连到(R)的边，根据其是分在(X)里还是(V-X)，分别连到(R_1)和(R_2)
重复这个操作直到(|C_i|=1)
根据引理这肯定是对的。
现在我们构造的最小割树已经满足((s,t)in E, alpha(s,t)={x|删掉(s,t)后x与s联通})。
我们还需要证明其满足(alpha(u,v)=min_{(s,t) in path(u,v),}alpha(s,t))。
不妨考虑(alpha(s,t))是u,v路径上最小的割。
显然有(alpha(u,v) le alpha(s,t))。
对于任意(i,j,k,都有alpha(i,k) ge min{alpha(i,j),alpha(j,k)})。
因此可以得到(alpha(u,v) ge min_{(s,t) in path(u,v)} {alpha(s,t) }) 。
所以有(alpha(u,v)= alpha(s,t))。
如果存在一张图(G=(V,E))，定义(f(A)={ sum_{(u,v) in E,u in A, v otin A} w((u,v))})，(alpha(s,t)= min_{s in A,t otin A}f(A))，不难发现(alpha(s,t))就是(s,t)在无向图上的最小割，而且这个函数(f)显然是满足对称性和次模性的。