CF 494E Sharti

CF 494E Sharti

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题意：一个(n imes n)的棋盘，共有m个矩形中的格子为白色。两个人需要博弈，每次操作选择一个边长不超过k的正方形并翻转颜色，每次翻转需要正方形的右下角为白色，轮流操作，不能操作者输。

题解：
这个题显然是满足翻硬币游戏的定理，只是将一维改成了二维。
(sg_{i,j}= min{ lowbit(i),lowbit(j),maxbit(k) })。
lowbit(x)是把x看成2进制数的最低位，maxbit(x)时最高位。
接下来证明这个结论。

接下来给出几个引理。

定义
(pre_x = igoplus_{i=1}^{x} ext{lowbit(i)})
(f(l,r)= igoplus_{i=l}^{r} ext{lowbit(i)})

引理1： (forall k geq 1),(pre_{2^k} = 2^{k-1})

证明：考虑各位的贡献易证。

引理2： (forall k geq 1),令集合(S_k={ pre_x | xin [0,2^k-1] }) ,可以证明(S_k=[0,2^k-1])

证明：归纳，k=1时显然成立，当k>1时，$$S_k={ pre_x | xin [0,2^{k-1}-1] } igcup
{ (2^{k-1} + 2^{k-2}) pre_x | xin [0,2^{k-1}-1] }

=[0,2^{k}-1]$$

引理3：(forall x eq y,pre_x eq pre_y)
证明：由引理2可知。

先讨论(k=n)的情况，即翻转的正方形没有长度限制。

我们考虑归纳证明。
首先对于(i leq 1)或(j leq 1)的情况,显然(sg_{i,j}=1)。
接下来对于(i leq x , j leq y , (i,j) eq (a,b))的情况都满足结论，我们需要证明(sg_{a,b}=min{lowbit(a),lowbit(b)})
不妨设(lowbit(a) leq lowbit(b)),(k=lowbit(a))
对于小于2^k的数必定都在S中，因为显然对于(i < 2^k, lowbit(a-i)=lowbit(b-i)=lowbit(i)),
于是对于(x < 2^k,pre_x in S)。
只需证明(2^k otin S)
我们要找(2^k),不妨放弱一点条件，我们只要找值在([2^k,2^{k+1}-1])的即可。
令(t=a-2^k),(k'=lowbit(t))
如果(a-2^k)或(b-2^k)为0，那么一定找不到。
(lowbit(a)<lowbit(b))时，在矩阵的((a-2^k,b))这个位置有一个 (2^{k'})
(lowbit(a)=lowbit(b))时，在矩阵的((a-2^k,b-2^k))这个位置有一个 (2^{k'})
并且显然，以(2^k)为边长的正方形只有一个值为(2^{k'})
把这个位置记为((a',b')),不管在哪，我们都得把这个(2^{k'})给消掉
那么新的问题是要在(a',b')为右下角，找到一个值为([2^{k'},2^{k'+1}-1])的正方形。
(为什么是正方形呢，因为多出来的右边那一部分或者是上面一部分的值域一定在([0,2^{k'}-1]))，所以不会影响答案。
不难发现这个问题跟原来是一样的，而且做有限次之后a,b一定有一个会变为0，所以(2^k otin S),( ext{mex}{S}=2^k)

这样我们就解决了(k=n)的问题，当(k < n)时，显然，k只会对(min{lowbit(a),lowbit(b)} > maxbit(k))的(sg_{a,b})造成影响，
设(t=2^{maxbit(k)})
不难发现，在边长k以内，以(a,b)为右下角和以(2t,2t)为右下角的值是一样的。
(S={f(x,2t-1)|xin[2t-k+1,2t]})
又(2t>x,lowbit(x)=lowbit(2t-x))
所以(S= {pre_x | xin[0,k-1]})
而(pre_{2^{k+1}-1}=2^{k})，由引理3可知(2^k otin S)

既然知道了sg函数，我们直接扫描线+线段树，由于lowbit的种数很少，枚举每个lowbit进行维护即可。