（一）不同的二叉搜索树
题目：96. 不同的二叉搜索树
题目描述：
给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？
示例:
输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:
1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3
解题思路：
本题依旧是对BST性质的一个变形应用，从1到n我们可以首先选择其中某一个值作为根，比如i，那么从1到i-1就可以构建成为左子树，而从i+1到n就可以构建右子树，而总共可以构建的BST的总数是左右子树数量的乘积，这就是典型的子问题，可以用递归来解决。
除此之外，既然存在递归子问题，我们还可以用动态规划法来解决这一问题。
我们可以定义两个函数：
- G(n): 长度为n的序列的不同二叉搜索树个数
- F(i,n): 以 i 为根的不同二叉搜索树个数(1<=i<=n)
不同的二叉搜索树的总数 G(n)，是对遍历所有 i (1 <= i <= n) 的 F(i, n) 之和。换而言之：
给定序列 1 ... n，我们选出数字 i 作为根，则对于根 i 的不同二叉搜索树数量 F(i, n)F(i,n)，是左右子树个数的笛卡尔积。
用公式表示就是：F(i,n)=G(i−1)⋅G(n−i)
所以我们可以得到G(n)的递归表达式为：G(0)=1，G(0)=1
代码实现：
//方法一：递归
class Solution {
public int numTrees(int n) {
return numTrees(1,n);
}
public int numTrees(int begin,int end){
if(begin>=end)
return 1;
else if(end-begin==1)
return 2;
else{
int res=0;
for(int i=begin;i<=end;i++){ //以i为根，分别构建左右子树
int left=numTrees(begin,i-1);
int right=numTrees(i+1,end);
res+=(left*right);
}
return res;
}
}
}
//方法二：动态规划法
class Solution {
public int numTrees(int n) {
int[] dp=new int[n+1];
dp[0]=1;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=i;j++){
dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
}
}
return dp[n];
}
}
（二）不同的二叉搜索树II
题目描述：
给定一个整数 n，生成所有由 1 ... n 为节点所组成的二叉搜索树。
示例：
输入: 3
输出:
[
[1,null,3,2],
[3,2,null,1],
[3,1,null,null,2],
[2,1,3],
[1,null,2,null,3]
]
解释:
以上的输出对应以下 5 种不同结构的二叉搜索树：
1 3 3 2 1
/ / /
3 2 1 1 3 2
/ /
2 1 2 3
解题思路：
本题和上题的题意基本相同，上题只需要求解数量，而本题要返回实际生成的数量，但基本思路也相同， 同样从1到n中以某个值为根，然后分别构建左右子树。具体可以参考代码实现。
代码实现：
class Solution {
public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
List<TreeNode> res=new ArrayList<>();
if(n<=0)
return res;
return generateTrees(1,n);
}
//从begin到end范围可以生成的树的集合
public List<TreeNode> generateTrees(int begin,int end){
List<TreeNode> res=new ArrayList<>();
if(begin>end){
res.add(null);
return res;
}
for(int i=begin;i<=end;i++){ //以i为根，分别构建左右子树
List<TreeNode> left=generateTrees(begin,i-1);
List<TreeNode> right=generateTrees(i+1,end);
for(TreeNode l:left){ //左右子树分别组装成树
for(TreeNode r:right){
TreeNode root=new TreeNode(i);
root.left=l;
root.right=r;
res.add(root);
}
}
}
return res;
}
}