【剑指Offer】67、剪绳子

  题目描述：

  给你一根长度为n的绳子，请把绳子剪成整数长的m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],...,k[m]。请问k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘积是多少？例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

  题目抽象一下：就是把n分成很多个整数，要求这些数字的乘积最大，问你最大的乘积是多少？

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  解题思路：

  本题是动态规划和贪心算法的应用实例，有以下两种解法：

  解法一：动态规划

  令F(n)表示长度为n的绳子剪成若干段之后，每一段长度的最大乘积。我们以剪第 i 次作为第 i 次决策，则可以得到：当剪第1次时，可以选择n-1个位置，即有n-1个不同的选择；同样，在剪第 i 次时，同样有n-i个位置可以选择，因此，我们可以得到一个递推公式：F(n)=max(F(i)*F(n-i))，其中0<i<n.

  通过公式可以看出，这是一个自上而下的递归问题，是一个典型的动态规划问题，可以通过存储局部值的方式避免重复计算，先计算F(1)，接着计算F(2)…，直到得到F(n)。

  同时，需要注意特殊情况，当n=2时，只可以划分为两个长度为1的小段，因此F(2)=1，当n=3时，不难得到F(3)=2.

  解法二：贪心法

  我们可以通过先例举小的数字，然后观察划分规律。

长度	最大乘积	长度	最大乘积
2	1*1	7	2*2*3
3	1*2	8	2*3*3
4	2*2	9	3*3*3
5	2*3	10	2*2*3*3
6	3*3	11	2*3*3*3

  从上表可以看出，分解的数字中只有2和3时可以达到最大值，当然，相比应当是3越多越好，因此，我们从贪心的角度考虑，尽可能的多产生长度为3的片段。即：

• 当n%3==0时，也就是全都是3，乘积肯定最大
• 当n%3==1时，注意1*3没有2*2大，所以我们应该把一个3拿出来和剩下的那个1组成2*2的形式
• 当n%3==2时，2*3*……*3的形式乘积最大

  编程实现（Java）：

//方法一：动态规划
public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target==2)
            return 1;
        if(target==3)
            return 2;
        
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[0]=0; // 不代表最大值，是为了方便i>=4的计算
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;
        dp[3]=3;
        
        for(int i=4;i<=target;i++){  //依次求出比n小的每个值，避免重复计算
            int maxN=0;
            for(int j=1;j<=i/2;j++){
                maxN=Math.max(maxN,dp[j]*dp[i-j]);
                dp[i]=maxN;
            }
        }
        return dp[target];
    }
}
//方法二：贪心法
public class Solution {
    public int cutRope(int target) {
        if(target==2)
            return 1;
        if(target==3)
            return 2;
        int p=target/3, q=target%3;
        double res=0;
        if(q==0)
            res=Math.pow(3,p);
        else if(q==1)
            res=2*2*Math.pow(3,p-1);
        else if(q==2)
            res=2*Math.pow(3,p);
        
        return (int)res;
    }
}