2019山东省赛K

题意：

　　一个数论题，要求满足如下等式的x有多少个。

    

思路：

　　当时比赛是，队伍看到这个题，也没有做太多的思考，就是无从下手，几乎放弃。但是看到学校另外两支队伍都过了这个题，感觉自己还是好菜。

　　打表可以发现，当a为奇数的时候答案为1。当a为偶数的时候，x一定也是偶数，这个还是比较明显的。

　　对左边进行推导，因为a为偶数，设a=2*t，所以a^x=2^x*t^x,所以当x大于p时，这个求余之后一定为0。由于p很小，可以直接暴力求解，所以对于右边直接考虑x^a求余之后为0的x的情况。由于x为偶数。我们再次对x分解，设x=2^k*t,就是把x写成一个2的 次幂和t的乘积的形式，所以x^a=2^(ka)*t^a，所以只需要ka>=p,就可以满足条件，而且只有ka>=p可以满足条件，因为t^a不可能可以整除，所以现在要求k>=p/a，对p/a取上整即可，就是考察有多少个t，在1-up的范围内（up为x的上界），个数为up/ceil(p/a)/2^k。当然最后的答案要减去1-p范围内的数，因为这一部分是特殊考虑的。

代码：

#include <iostream>
#include<cmath>
#include<stdio.h>
//a^x 与x^a
// 1<=x<=2^p
using namespace std;
#define ll long long
ll ppow(int x,int n,ll mod)
{
    ll res=1;
    ll base=x;
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=(res*base)%mod;
        base=(base*base)%mod;
        n>>=1;
    }
    return res%mod;
}
int main()
{
    int a,p;
    int T;
    while(~scanf("%d",&T))
    {
        while(T--)
        {
            scanf("%d%d",&a,&p);

            if(a%2)
            {
                cout<<1<<endl;
                continue;
            }
            //x>=p
            ll  up=(1LL<<p);
            ll ans=0;
            for(int i=1;i<=p;i++){
                if(ppow(a,i,up)==ppow(i,a,up))ans++;
            }
            ll tem=ceil(p/(a+0.0));
            ans+=(up>>tem)-(p>>tem);
            cout<<ans<<endl;
        }
    }

    return 0;
}