半数集合和最长公共子串

半数集问题

问题描述：
给定一个自然数n，由n 开始可以依次产生半数集set(n)中的数如下。
(1) n∈set(n)；
(2) 在n 的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过最近添加的数的一半；
(3) 按此规则进行处理，直到不能再添加自然数为止。
例如，set(6)={6,16,26,126,36,136}。半数集set(6)中有6 个元素。
注意半数集是多重集。
算法设计：

对于给定的自然数n，计算半数集set(n)中的元素个数

 

 解题思路

半数集的公式是

       

一 递归过程分析

通过分析所描述问题的特点可知，半数集set(n)中元素个数的求解是个递归的过程。设set(n)中的元素个数为f(n)，则显然有递归表达式：

f(n)=1+∑f(i)，i=1,2……n/2

据此，可很容易设计出求f(n)的递归算法如下：

int bsj(int n)      

{     int ans=1；

       if(n>1)

              for(int i=1；i<=n/2；i++)

                     ans+=bsj(i)；

       return ans；

}

对于此递归过程，是存在有缺陷的，即有很多的重复子问题计算。比如说：当n=4时，f(4)=1+f(1)+f(2)，而f(2)=1+f(1)，因此，在计算f(2)的时候又要重复计算一次f(1)。更进一步，当n较大时，类似的重复子问题计算将会变得非常多。

二 改进的递归算法

可以对如上的递归算法进行改进，用数组来存储已计算过的子问题结果，就可以避免重复，提高算法效率。改进的递归算法如下：

         int bsj(int n)

           {     int ans=1；

                  if(a[n]>0)              //避免重复计算的判断语句（在主函数中将数组a的元素全部初始化为0）

                       return a[n]；

                  for(int i=1;i<=n/2;i++)

                  ans+=bsj(i)；

                  a[n]=ans；

                  return ans；

         }

 

1. #include<iostream>  
2. long a[10001];  
3. using namespace std;  
4. int main()  
5. {  
6.    long bsj(int n);  
7.    int n;  
8.    while(cin>>n)  
9.     {  
10.         memset(a,sizeof(a),0);  
11.         a[1]=1;  
12.         cout<<bsj(n)<<endl;  
13.      }         return 0;  
14.  }  

16. long bsj(int n)  

17. {  

   long ans=1;  

    if(a[n]>0)  

        return a[n];  

    for(int i=1;i<=n/2;i++)  

      ans+=bsj(i);  

    a[n]=ans;  

    return ans;  

 }  

动态规划：最长公共子串

问题描述

 

我们称序列Z = < z1, z2, ..., zk >是序列X = < x1, x2, ..., xm >的子序列当且仅当存在严格上升的序列< i1, i2, ..., ik >，使得对j = 1, 2, ... ,k, 有xij = zj。比如Z = < a, b, f, c > 是X = < a, b, c, f, b, c >的子序列。

现在给出两个序列X和Y，你的任务是找到X和Y的最大公共子序列，也就是说要找到一个最长的序列Z，使得Z既是X的子序列也是Y的子序列。

输入数据

输入包括多组测试数据。每组数据包括一行，给出两个长度不超过200的字符串，表示两个序列。两个字符串之间由若干个空格隔开。

输出要求

对每组输入数据，输出一行，给出两个序列的最大公共子序列的长度。

 

 

解题思路

如果我们用字符数组s1、s2存放两个字符串，用s1[i]表示s1中的第i个字符，s2[j]表示s2中的第j个字符（字符编号从1开始，不存在“第0个字符”），用s1i表示s1的前i个字符所构成的子串， s2j表示s2的前j个字符构成的子串，MaxLen(i, j)表示s1i 和s2j的最长公共子序列的长度，那么递推关系如下：

if( i ==0 || j == 0 ) {

MaxLen(i, j) = 0 //两个空串的最长公共子序列长度当然是0

}

else if( s1[i] == s2[j] )

MaxLen(i, j) = MaxLen(i-1, j-1 ) + 1;

else {

MaxLen(i, j) = Max( MaxLen(i, j-1), MaxLen(i-1, j));

}

 

 

 

#define MaxSize 200
#include <stdio.h>
#include <string.h>
char p[MaxSize+10];
char q[MaxSize+10];
int MaxComLen[MaxSize+10][MaxSize+10]; //MaxComLen[i][j]表示以第一个串第i个元素，第二个串第j个元素为终点的最大公共子串
int main()
{
int i,j,max;
int plen=0,qlen=0;
while(scanf("%s%s",p+1,q+1)>0)
{
int maxlen=0;
plen=strlen(p+1);
qlen=strlen(q+1);
for (i=0;i<=plen;i++)
MaxComLen[i][0]=0;
for (j=0;j<=qlen;j++)
MaxComLen[0][j]=0; //如果i或者j为0，最长公共字串为0
for(i=1;i<=plen;i++)
{
for (j=1;j<=qlen;j++)
{
if (p[i]==q[j])
MaxComLen[i][j]=MaxComLen[i-1][j-1]+1;//如果p[i]=q[j],MaxComLen[i][j]=MaxComLen[i-1][j-1]+1
else
{
if(MaxComLen[i-1][j]>MaxComLen[i][j-1])//如果p[i]!=q[j],MaxComLen[i][j]=MAX(MaxComLen[i][j-1],MaxComLen[i-1][j])
MaxComLen[i][j]=MaxComLen[i-1][j];
else
MaxComLen[i][j]=MaxComLen[i][j-1];
}
if (MaxComLen[i][j]>maxlen) //输出最大的长度，按照定义应该为最后一个元素
maxlen=MaxComLen[i][j];
}
}
printf("%d/n",maxlen);
}
return 0;
}