三角形的五心

1. 概述
   1. 三角形的五心包括重心、垂心、外心、内心和旁心，是解决三角形问题的一种工具，也是一种研究对象。
   2. 前置知识：三角形等积变换、轴对称、相似、圆
2. 内容

   1. 重心

      1. 重心的概念
         1. 三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的内部
            
            如图，G为△ABC的重心
      2. 重心的性质
         1. 基本性质
            1. 三角形重心与顶点的距离等于它与对应中点的距离的两倍，即$displaystyle frac{AG}{GD}=frac{BG}{GE}=frac{CG}{GF}=2$
            2. 证明1
               1. 由共边定理得
                  
               2. 由蝴蝶定理得
                  
               3. 于是有
                  
               4. 由共边定理得$frac{AG}{DG}=frac{ riangle ACG}{ riangle CDG}=2$
               5. 同理可推得其他边的关系
            3. 证明2
               1. 连接$DE$，由中位线得平行，得八字模型，由相似和中位线$frac{1}{2}$得$2$倍
                  
         2. 推论1
            1. 设$G$是$ riangle ABC$中一点，若$S_{ riangle ABG}=S_{ riangle ABC}=frac{1}{3}S_{ riangle ABC}$，则$G$为$ riangle ABC$的重心
               1. 证明
                  1. 由共边定理（燕尾模型）得$frac{BD}{CD}=frac{S_{ riangle ABG}}{S_{ riangle ACG}}=1$，即$G$为$ riangle ABC$中点
                  2. 同理可证其他中点
         3. 推论2
            1. $G$为$ riangle ABCD$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，则$AD ⊥ BE$
               
               1. 证明
                  
                  1. 倍长中线，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$angle MBG = 90^{circ}$
            2. $G$为$ riangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，则$AG^2+BG^2=CG^2$
               
               
               1. 证明
                  1. 由垂直得勾股关系，又由直角三角形斜边中线定理得$AB=CG$，即可得证
         4. 推论3
            1. $G$为$ riangle ABC$中点，过$G$作$DE ∥BC$，$PF∥AC$，$KH∥AB$，则$frac{DE}{BC}=frac{FP}{CA}=frac{KH}{AB}=frac{2}{3}$
               
               1. 证明
                  
                  1. 连AG并延长至M交BC于M，则M为BC中点
                  2. 由$DG∥CB$得$frac{AD}{AB}=frac{AG}{AM}=frac{2}{3}$
                  3. 由相似得$frac{DE}{BC}=frac{FP}{CA}=frac{KH}{AB}$
         5. 推论4
            1. G为边长为$a$的等边三角形ABC的中点，则$GA=GB=GC=frac{sqrt{3}}{3}a$
               
               1. 证明
                  1. 等边三角形四心合一点，得$△ABG$为$30°、30°、120°$型三角形，边之比为$1:1:sqrt{3}$，故$GA=frac{AB}{sqrt{3}}$

   2. 垂心

   3. 外心

   4. 内心

   5. 旁心