洛谷P1129 【ZJOI2007】矩阵游戏

原题传送门

题目描述

小QQ是一个非常聪明的孩子，除了国际象棋，他还很喜欢玩一个电脑益智游戏――矩阵游戏。矩阵游戏在一个N imes NN×N黑白方阵进行（如同国际象棋一般，只是颜色是随意的）。每次可以对该矩阵进行两种操作：

行交换操作：选择矩阵的任意两行，交换这两行（即交换对应格子的颜色）

列交换操作：选择矩阵的任意两列，交换这两列（即交换对应格子的颜色）

游戏的目标，即通过若干次操作，使得方阵的主对角线(左上角到右下角的连线)上的格子均为黑色。

对于某些关卡，小QQ百思不得其解，以致他开始怀疑这些关卡是不是根本就是无解的！于是小QQ决定写一个程序来判断这些关卡是否有解。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个整数TT，表示数据的组数。

接下来包含TT组数据，每组数据第一行为一个整数NN，表示方阵的大小；接下来NN行为一个N imes NN×N的0101矩阵（00表示白色，11表示黑色）。

输出格式：

包含TT行。对于每一组数据，如果该关卡有解，输出一行YesYes；否则输出一行NoNo。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

2
2
0 0
0 1
3
0 0 1
0 1 0
1 0 0

输出样例#1： 复制

No
Yes

说明

对于20\%20%的数据，N ≤ 7N≤7

对于50\%50%的数据，N ≤ 50N≤50

对于100\%100%的数据，N ≤ 200N≤200

题解

前置知识二分图

此题比较有代表性，思维难度较高，建模后代码很简单。

这题的最终目标是要让主对角线上都是黑格，即对于每一个x∈[1,N],满足(x,x)。

于是此时问题就转化为找N个横纵坐标相同的点，于是我们可以这样建模：

我们将行作为左集合，列作为右集合，每个点就是一条边，而交换行就是交换点的顺序

这样一来，我们就很容易发现只要能实现N个匹配，就一定可以通过交换点来达成目标

然后我们就可以运用二分图匹配的模板解决这道题了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7,MAXN=201,MAXM=MAXN*MAXN;
int T,N;
int head[MAXN],to[MAXM],nxt[MAXM],tp;
inline void add(int x,int y){
    nxt[++tp]=head[x];
    head[x]=tp;
    to[tp]=y;
}
int used[MAXN],match[MAXN];
bool dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        if(!used[to[i]]){
            used[to[i]]=1;
            if(!match[to[i]]||dfs(match[to[i]])){
                match[to[i]]=x;
                return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main(){
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d",&N);
        tp=0;
        memset(head,0,sizeof(head));
        memset(match,0,sizeof(match));
        for(int i=1;i<=N;i++){
            for(int j=1;j<=N;j++){
                int ii;
                scanf("%d",&ii);
                if(ii){
                    add(i,j);
                }
            }
        }
        int flag=1;
        for(int i=1;i<=N&&flag;i++){
            memset(used,0,sizeof(used));
            flag=dfs(i);
        }
        if(flag){
            puts("Yes");
        }else{
            puts("No");
        }
    }
    return 0;
}