买卖股票的最佳时机--动态规划

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定股票第 i 天的价格。

如果你最多只允许完成一笔交易（即买入和卖出一支股票），设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

注意你不能在买入股票前卖出股票。

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例2：

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

解法一： 暴力解决法

算法思想：

我们需要找出给定数组中两个数字之间的最大差值（即，最大利润）。此外，第二个数字（卖出价格）必须大于第一个数字（买入价格）。

对于每组 i 和 j （j > i）我们需要找出max（prices[j] - prices[i]）

代码如下：

func maxProfit(_ prices: [Int]) -> Int {
    guard prices.count > 0 else {return 0}
    var maxProfit: Int = 0
    for i in 0..<prices.count - 1 {
        for j in i+1..<prices.count {
            maxProfit = max(maxProfit, prices[j] - prices[i])
        }
    }
    return maxProfit
}

解法二：动态规划

算法思想：

动态规划的3个步骤：

1. 设定状态
2. 推导方程
3. 起始值和输出

这里状态的设置得稍微想一想，数组的问题一般我们得固定其中一个变量。这道题有两个变量，一个是“买入”，另一个是“卖出”，这里我们固定“卖出”变量，“买入”变量一定在它之前。

因此状态dp[i]表示：在索引为 i 的这一天，用户所能获得的最大利润。

下面思考状态转移，我们就要想dp [i] 的从前面的状态值转移过来，但是我们就会发现新的问题dp[i - 1]、dp[i - 2]、……、dp[0]，状态转移无从下手。这里就说明：状态还不够，得把“买入”和“卖出”操作加入到状态的设置中。

于是下面修改状态的定义：

• dp[i][0]表示：在索引为 i 的这一天，用户手上不持股所能获得的最大利润；

1、   0 一般表示没有，在索引为 i 的这一天，手上没有股票，语义上也是清晰的，下面对状态 1 的理解也是一样；
2、   “用户手上不持股”不代表用户一定在索引为 i 的这一天把股票抛售了；
3、    在索引为 i 的这一天具体应该这样理解：从索引为 0 的天数开始，到索引为 i 的这一天，因此，这个状态的设置具有“前缀”的意味，因此输出是 dp[len - 1][0]，不可能是 dp[len - 1][1]，在只发生一次交易的情况下，持有这支股票一定不能使我们获得最大利润。

• 状态dp[i][1]表示：在索引为 i 的这一天，用户手上持股所能获得最大的利润。

下面考虑状态转移方程：

1. dp[i][0] 可以由谁转移过来？

• dp[i - 1][0] ：今天不持股，假设我今天什么都不操作，当然可以从昨天不持股转移过来，这一点是显然的

• dp[i - 1][1] + prices[i]：昨天持股，就在索引为 i 的这一天，我卖出了股票，状态由 1 变成了 0，此时获得利润，因此加上这一天的股价。

  综上：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);

　　2. dp[i][1] 可以由谁转移过来？

• dp[i - 1][1] ：今天持股，假设我今天什么都不操作，当然可以从昨天持股转移过来，这一点是显然的；

• -prices[i]：**请注意：**状态 1 不能由状态 0 来，因为事实上，状态 0 特指：“卖出股票以后不持有股票的状态”，请注意这个状态和“没有进行过任何一次交易的不持有股票的状态”的区别。

  因此，-prices[i] 就表示，在索引为 i 的这一天，执行买入操作得到的收益，再次强调：因为题目只允许一次交易，因此不能加上 dp[i - 1][0]。

综上：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i]);

在新修改的定义中，我们已经分析出了输出dp[len - 1][0]

public int maxProfit(int[] prices) {
        int len = prices.length;
        if (len < 2) {
            return 0;
        }

        // 0：用户手上不持股所能获得的最大利润，特指卖出股票以后的不持股，非指没有进行过任何交易的不持股
        // 1：用户手上持股所能获得的最大利润

        // 注意：因为题目限制只能交易一次，因此状态只可能从 1 到 0，不可能从 0 到 1
        // 状态转移方程：
        // dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i])
        // dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], -prices[i])
        int[][] dp = new int[len][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
        }
        return dp[len - 1][0];
    }

以上就是股票最大收益算法,希望对大家有所帮助!!!