2020年01月27日18:36:47
- 费马小定理
- 扩展欧几里得算法
- 欧拉函数
- 扩展( extrm {CRT})
- ( extrm{Lucas})定理
- 扩展( extrm{Lucas})
- ( extrm{BSGS})
- ( extrm{EX-BSGS})
- ( extrm{Miller-Rabin&Pollard-Rho})
- 拉格朗日插值
- 高斯消元
- 欧拉定理
欧几里得算法
费马小定理
定理：((p) 为质数，(p mid a))
[ a^{p-1}equiv1mod p
]
证明：（学习链接）
设一个质数为(p)，我们取一个不为(p)倍数的数(a)。
构造一个序列：(A={1,2,3dots,n-1})
[ Pispace A_i=Pi (A_i imes a) mod p
]
解释：
[ ecause (A_i,p)=1,(A_i imes a,p)=1\
又 ecause 每一个A_i imes a mod p 都是独一无二的,且A_i imes a mod p < p \
得证
]
设(f=(p-1)!),
则(fequiv a imes A_1 imes a imes A_2 imes a imes A_3 dots imes A_{p-1} (mod p))
[ a^{p-1} imes f equiv f mod p \
a^{p-1} equiv 1 mod p
]
例题：乘法逆元
设逆元为(x)
[ ecause a*xequiv 1 mod p ,a^{p-1}equiv 1 mod p \
herefore a^{p-2}equiv x mod p
]
例题2:有理数取余
除以一个数等于乘那个数的倒数
逆元有'同余倒数'之称
数据过大只需要边读入边%即可。
例题3:乘法逆元2
考虑到逆元的性质。题目实际上要我们求(largefrac{1}{a_i} mod p)，我们只需要构造出求出(largefrac{1}{a_i})而不用除法的方式。
[ 设space extsf S_jspace=Pi_{i=1}^{ile j} \
frac{1}{a_i}=frac{1}{S_i} imes S_{i-1} \
frac{1}{S_i}=frac{1}{S_{i+1}} imes a_i
]
一开始的(frac{1}{S_{i+1}})用逆元算即可。
代码
const int N = 6000001;
int A[N],S[N],Inv[N];
int mod;
inline int Pow(int b,int p)
{
int ans=1;
while(p)
{
if(p&1)
{
ans*=b;
ans%=mod;
}
b*=b;b%=mod;
p>>=1;
}
return ans;
}
signed main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("data.in","r",stdin);
#endif
int n,k;
in3(n,mod,k);
S[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
in(A[i]);
S[i]=A[i]*S[i-1];
S[i]%=mod;
}
Inv[n]=Pow(S[n],mod-2);
int tmp=1,ans=0;
for(int i=n-1;i>=1;--i)
Inv[i]=(Inv[i+1]*A[i+1])%mod;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int iv=(Inv[i]*S[i-1])%mod;
tmp*=k;tmp%=mod;
int qwq=(tmp*Inv[i])%mod;
ans=(ans+(qwq*S[i-1])%mod)%mod;
}
write(ans);
return 0;
}
扩展欧几里得算法
欧几里得算法:
int gcd(int a,int b)
{
if(!b) return a;
return gcd(b,a%b);
}
算法解决这样一个不等方程：
[ ax+by=c 且ｃ满足 c|(a,b)
]
于是乎，我们可以利用这个方程求逆元：
[ a imes x equiv 1 mod b \
ax-by= 1
]
我们也可以理解成：
[ ax+by=1 (y le 0)
]
假设我们已经求出了一组解：(x_1,y_1)
[ ecause ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amod b) \
herefore ax+by=bx_1+(amod b)y_1 \
Rightarrow ax+by=bx_1+a imes y_1-lfloor frac{a}{b}
floor imes b imes y_1 \
=ay_1+b(x_1-lfloorfrac{a}{b}
floor imes y_1) \
herefore x=y_1,y=x_1-lfloorfrac{a}{b}
floor imes y_1
]
代码:
void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b) {x=1,y=0;return;} // ｂ必然会等于０，这个时候ax+by=gcd(a,b)，还要成立
Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
例题:
设飞行次数为(a)
[ ad+xequiv y mod n \
ad+x=y-bn \
ad+bn=y-x
]
用扩展欧几里得求出(a,(b))即可。
一些细节：
在求解(ax+by=c)时，我们通常采用以下方法：
[ 1. 将等式两边同时除以(a,b) \
2. 将问题化为ax+by=1,求出答案后在乘上c\
解系：\
din mathbb{Z}\
egin{cases}
x = x + db \
y = y - da \
end{cases}
]
所以标程如下：
void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b) {x=1,y=0;return;}
Exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
signed main()
{
int T=gi();
while(T--)
{
int n,d,x,y;
in4(n,d,x,y);
int a=0,b=0;
int gcd=__gcd(d,n);
if((y-x)%gcd)
{
puts("Impossible");
continue;
}
Exgcd(d,n,a,b);
a*=(y-x);a/=gcd;
n/=gcd;
// write2(a,b);
a=((a%n)+n)%n;
write(a);line();
}
}
( extrm{EXCRT})
[left{
egin{aligned}
x_1equiv b_1mod m_1 \
x_2equiv b_2mod m_2 \
x_3equiv b_3mod m_3 \
.................\
x_iequiv b_imod m_i \
end{aligned}
ight.
]
对于这样一组关于x的同余方程，我们需要求出其中的最小整数解,m之间不保证互质，我们就需要用到扩展中国剩余定理。(证明思路参考)
假设我们已经求出了我们已经求出了前 (i) 组方程的一个解，我们称之为(X),前(i)个(m)的(lcm)为M。根据扩展欧几里得的解系可以得出：(X+k imes M(kin mathbb{Z}))
[X+t imes Mequiv b_i mod m_i Rightarrow X+t imes M =b_i-q imes m_i \t imes M+q imes m_i=b_i-X \两边同时除以gcd(M,m_i),变成\ax+by=c\ 的形式
]
( extrm{BSGS})
[a^xequiv bmod p \
设 x =Alceilsqrt{p}
ceil-B:\
a^{Alceilsqrt{p}
ceil-B}equiv bmod p \
a^{Alceilsqrt p
ceil}equiv a^Bb mod p
]
枚举(A,B)即可。