BZOJ 1951 [SDOI2010]古代猪文 (组合数学+欧拉降幂+中国剩余定理)

题目大意：求$G^{sum_{m|n} C_{n}^{m}};mod;999911659;$的值$(n,g<=10^{9})$

并没有想到欧拉定理..

999911659是一个质数，所以$varphi(p)=p-1$

利用欧拉定理，降幂化简式子$G^{sum_{m|n} C_{n}^{m};mod;varphi(p)}$

这样，指数部分可以用$Lucas$+中国剩余定理求解

然而..$G>10^9$很大，可能和模数$999911659$不互质!所以质数要额外加上$varphi(p)$

#include <map>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 10100
#define ull unsigned long long 
#define ll long long
#define maxn 36000
using namespace std;

ll n,g;
const ll m[]={2,3,4679,35617};

ll qpow(ll x,ll y,const ll &mod){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1) ans=(ans*x)%mod;
        x=(x*x)%mod,y>>=1;
    }return ans;
}
namespace excrt{
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    if(!b) {x=1,y=0;return a;}
    ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
    ll t=x;x=y,y=t-a/b*y;
    return ans;
}
ll qadd(ll x,ll y,const ll &mod){
    ll ans=0;
    while(y){
        if(y&1) ans=(ans+x)%mod;
        x=(x+x)%mod,y>>=1;
    }return ans;
}
ll ans=0,M=1;
void insert(ll A,ll B)
{
    ll a=A,b=B,c=(a-ans%b+b)%b,x,y,g;
    g=exgcd(M,b,x,y);b/=g;
    //if(c/g!=0) return;
    //x=qadd(x,c/g,b);
    x=x*(c/g)%b;
    ans+=x*M,M*=b,ans=(ans%M+M)%M;
}
};
int son[N],d[N],ps[N],num,cnt;
namespace calc{
ll mul[maxn+100],inv[maxn+100],minv[maxn+100];
void Pre(const ll &mo)
{
    mul[0]=mul[1]=inv[0]=inv[1]=minv[0]=minv[1]=1;
    for(int i=2;i<mo;i++){
        mul[i]=mul[i-1]*i%mo;
        inv[i]=1ll*(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
        minv[i]=minv[i-1]*inv[i]%mo;
    }
}
ll C(ll a,ll b,const ll &mo)
{return mul[a]*minv[b]%mo*minv[a-b]%mo;}
ll Lucas(ll a,ll b,const ll &mo)
{
    if(b>a) return 0;
    if(a<mo&&b<mo) return C(a,b,mo);
    return Lucas(a/mo,b/mo,mo)*Lucas(a%mo,b%mo,mo)%mo;
} 
ll solve(const ll &mo)
{
    for(int i=2;i<mo;i++)
        mul[i]=inv[i]=minv[i]=0;
    Pre(mo);ll ans=0;
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
        (ans+=Lucas(n,son[i],mo))%=mo;
    return ans;
}
};
void dfs_son(int i,ll s)
{
    if(i>num) {son[++cnt]=s;return;}
    for(int j=0;j<=d[i];j++)
        dfs_son(i+1,s),s*=ps[i];
}
void get_son(ll a)
{
    int sq=sqrt(a);
    for(int i=2;i<=sq;i++)
    if(a%i==0){
        ps[++num]=i;
        while(a%i==0) 
            d[num]++,a/=i;
    }
    if(a!=1)
        ps[++num]=a,d[num]++;
    dfs_son(1,1);
}
const ll smod=999911659;

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&g);
    get_son(n);
    for(int i=0;i<4;i++)
    {
        ll ans=calc::solve(m[i]);
        excrt::insert(ans,m[i]);
    }
    ll pw=excrt::ans;
    ll ans=qpow(g,pw+smod-1,smod);
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}