1.错位排序：
错位排序数列：1,2,9,44,265......
给出一个1~n的排列，现在把它打乱，让每一位上的数和它的标号都不相同，求所有的打乱方案数
考虑1~n的全排列的数量，是
那么，当某一位上的数和它的标号相同(其他位是否相同先不考虑)的情况，那么打乱方案数是
可以看错把这一位去掉，剩下的数任意排列的方案数，一共n位，总数量就是
发现会多减掉有两位都标号相同的情况，要加回来
发现是一个容斥原理，继续推就行了
公式是
2.卡特兰数
卡特兰数列：1,2,5,14......
矩阵递推式长这样
形成的矩阵是这样的
1
1 1
1 2 2
1 3 5 5
1 4 9 14 14
1 5 14 28 42 42
......
很少见的递推比通项还复杂的数列
源公式：
递推公式：
通项公式：
具体推导挺复杂的
一些题目，比如求元素出栈方案数，多边形划分三角形等等
3.数论公式
约数个数和$d(ij)=sumlimits_{x|i}sumlimits_{y|j}[gcd(x,y)==1]$
欧拉函数$sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}varphi (i,j)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}frac{varphi (i)varphi (j)gcd(i,j)}{varphi (gcd(i,j))}$
平方和公式$frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=sum_{i=1}^{n}i^{2}$
立方和公式$(frac{n(n+1)}{2})^{2}=sum_{i=1}^{n}i^{3}$