BZOJ 1367 [Baltic2004]sequence (可并堆)

题面：BZOJ传送门

题目大意：给你一个序列$a$，让你构造一个递增序列$b$，使得$sum |a_{i}-b_{i}|$最小，$a_{i},b_{i}$均为整数

神仙题..

我们先考虑b不递减的情况

假设现在有一段单调的序列$A$

如果$A$是递增的，显然$b[i]=a[i]$是最优解

如果$A$是递减的，$b$的每一项=序列$A$的中位数时是最优解

简单证明一下递减的情况：

1.序列$A$元素数量是奇数时，我们以中位数为对称轴，那么对称的两个数带来的贡献就是它们的差值，而中位数本身不会产生贡献，如果选取的不是中位数，必然会导致中位数产生贡献，而且对称的两个数还可能产生差值以外的贡献

2.序列$A$元素数量是偶数时，选取的数在中间的两个数之间即可，贡献都是一样的

我们如何利用这一性质呢？

我们把序列拆分成很多递减的段，递增子段的每一个数都是单独的一段

我们的目的是保证$b$不递减，即把每一段取的数画成一个函数来看是不递减的

每次我们在序列末尾加入一个数$a_{i}$，都看看这一段的中位数是否$geq $前面一段的中位数，不满足就和前一段合并，然后依次重复此过程

为什么答案合并后不会变差？太弱了并不会证..感性理解一下吧。因为这两段原来取的就是最优解，但并不满足要求，我们也只能把两段合并，再用相同的方法求最优解了..

具体实现可以用左偏树维护大根堆，记录每一段较大的$left lceil frac{n}{2} ight ceil$个数，当两个奇数段合并时删除一次堆顶即可，记录每一段的信息可以用结构体

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 1000010
#define ll long long 
using namespace std;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
 
template <typename _T> void read(_T &ret)
{
    ret=0; _T fh=1; char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){ if(c=='-') fh=-1; c=getchar(); }
    while(c>='0'&&c<='9'){ ret=ret*10+c-'0'; c=getchar(); }
    ret=ret*fh;
}
 
struct Heap{
int fa[N1],ch[N1][2],h[N1]; ll val[N1];
int merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    if(val[x]<val[y]) swap(x,y);
    //pushdown(x);
    ch[x][1]=merge(ch[x][1],y); fa[ch[x][1]]=x;
    if(h[ch[x][0]]<h[ch[x][1]]) swap(ch[x][0],ch[x][1]);
    h[x]=h[ch[x][1]]+1;
    return x;
}
int del(int x)
{
    fa[ch[x][0]]=fa[ch[x][1]]=0; 
    int y=merge(ch[x][0],ch[x][1]);
    ch[x][0]=ch[x][1]=0;
    return y;
}
}h;
 
ll a[N1];
struct node{int l,r,x;};
node stk[N1]; int n,tp;
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int i,j,x,y,len; node K; ll ans=0,tmp;
    for(i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        h.val[i]=a[i]-i; x=i; len=1;
        while(tp)
        {
            K=stk[tp]; 
            if(h.val[x]>=h.val[K.x]) break;
            x=h.merge(x,K.x); tp--;
            if( (len&1) && ((K.r-K.l+1)&1) ) x=h.del(x);
            len+=K.r-K.l+1;
        }
        stk[++tp]=(node){i-len+1,i,x};
    }
    for(i=1;i<=tp;i++)
    for(j=stk[i].l;j<=stk[i].r;j++)
    {
        tmp=a[j]-(h.val[stk[i].x]+j);
        ans+=((tmp>0)?tmp:-tmp);
    }
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}