[网络流24题] 负载平衡问题 (费用流)

洛谷传送门 LOJ传送门

本题解思路来自hzwer黄学长

搬运后每个位置应该有的货物数量$num=frac{sum a_{i}}{n}$

那么大于$num$的位置都应该把一部分货物提供给其他位置，反之是被提供货物

把源点和汇点想象成货物中心

那么源点向$a_{i}>num$的位置连一条流量为$a_{i}-num$，长度是$0$的边

向$a_{i}<num$的位置向汇点连一条流量为$num-a_{i}$，长度是$0$的边

而相邻的货物间可以随便运货，故连一条流量是$inf$，长度是$1$的边，注意货物的是一个环

源点向汇点的一条可行流可以理解成，连接源点的那个点 贡献出$flow$数量的货物，长途跋涉，到达连接汇点的那个点

我们的目的是保证每个位置多出来的货物全部运给少的，而这个图的最大流其实就是把连接源点的边全都跑满

我们要求的是最少花费，跑最小费用最大流就行了

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N1 105
#define M1 50010
#define ll long long
#define dd double
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int gint()
{
    int ret=0,fh=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')fh=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ret=ret*10+c-'0';c=getchar();}
    return ret*fh;
}

int n,m,S,T;
struct Edge{
int head[N1],to[M1<<1],nxt[M1<<1],dis[M1<<1],flow[M1<<1],cte;
void ae(int u,int v,int F,int W)
{
    cte++; to[cte]=v; flow[cte]=F; dis[cte]=W; 
    nxt[cte]=head[u]; head[u]=cte;
}
}e;

int que[M1<<1],dis[N1],flow[N1],use[N1],id[N1],hd,tl;
int spfa()
{
    int x,j,v;
    memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); memset(use,0,sizeof(use)); memset(flow,0,sizeof(flow));
    hd=1,tl=0; que[++tl]=S; dis[S]=0; flow[S]=inf; use[S]=1;
    while(hd<=tl)
    {
        x=que[hd++];
        for(j=e.head[x];j;j=e.nxt[j])
        {
            v=e.to[j]; 
            if( e.flow[j]>0 && dis[v]>dis[x]+e.dis[j] )
            {
                dis[v]=dis[x]+e.dis[j]; id[v]=j;
                flow[v]=min(flow[x],e.flow[j]);
                if(!use[v]) que[++tl]=v, use[v]=1;
            }
        }
        use[x]=0;
    }
    return dis[T]!=inf;
}

int mxflow,cost;
int EK()
{
    int x;
    while(spfa())
    {
        for(x=T;x!=S;x=e.to[id[x]^1])
        {
            e.flow[id[x]]-=flow[T];
            e.flow[id[x]^1]+=flow[T];
        }
        mxflow+=flow[T]; cost+=flow[T]*dis[T];
    }
    return cost;
}

int a[N1];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    int i,x,y,z,sum=0; e.cte=1; S=n+1,T=n+2;
    for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]), sum+=a[i]; sum/=n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        if(a[i]>sum) e.ae(S,i,a[i]-sum,0), e.ae(i,S,0,0);
        else if(a[i]<sum) e.ae(i,T,sum-a[i],0), e.ae(T,i,0,0);
    for(i=1;i<n;i++) e.ae(i,i+1,inf,1), e.ae(i+1,i,0,-1); e.ae(n,1,inf,1), e.ae(1,n,0,-1);
    for(i=2;i<=n;i++) e.ae(i,i-1,inf,1), e.ae(i-1,i,0,-1); e.ae(1,n,inf,1), e.ae(n,1,0,-1);
    printf("%d
",EK());
    //for(i=1,num=0;i<=n;i++) num+=abs(a[i]-sum);
    return 0;
}