【算法】二分查找

二分查找思想经常会出现在一些查找的问题中，比如我们现在有1000W个整形数据，每个数据占8个字节，现在有一台内存100MB的电脑，如何设计数组结构和算法快速查找某个整数出现再这1000W个数据中呢。

这个问题并不难，我们的内存限制时100MB，每个数据时8字节，将所有的数据存储在数组中内存占用80MB，可以使用不需要存储额外信息的数组存储在内存中，使用原地排序的算法如快排进行排序，最后用二分方法查找该数。

二分查找针对的时一个有序的数据集合，查找的思想类似与分治思想，每次都通过和区间的中间元素进行对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为0。

二分查找时一种非常高效的查找算法，其平均时间复杂度为 O(logn) 。我们假设数据大小为 n，每次查找以后数据都会缩小为原来为原来的一半，最坏的情况下，知道查找区间被缩小为空才停止。

当 n/(2**k) = 1时， k 的值就是总共缩小的次数，经过 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k) ，k = (log2)n，所以时间复杂度就是 O(logn)。对数时间复杂度是一种非常高效的时间复杂度，有的时候甚至比 O(1) 还要高效。

def binary_search(li:list,n:int)->bool:
    if not li:
        return False
    low,high = 0,len(li)-1
    while low <= high:　　#注意是 low <= high,而不是 low < high
        mid = low + (high - low)//2　　#如果 low 和 high 比较大的话，low + high 俩者可能会溢出
        if n == li[mid]:
            return True
        elif n < li[mid]:
            high = mid - 1　　#更新的时候不考虑把 mid 加进去，下面更新同理
        else:
            low = mid + 1
    return False

二分查找的应用场景局限性：

1.二分查找依赖顺序表结构，即有下标随机访问数据的数组。

2.二分查找针对的是有序数据。这里涉及到俩点，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁的插入、查找、删除，我们可以一次排序，多次二分查找。但是如果是在变化的数据集合中，依赖顺序表的二分查找就不再适用，而要考虑基于二叉树的二分查找。

3.数据量太小或者太大也不行。如果数据量太小的话，顺序遍历就够了，数据量太大的话，由于二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，对内存空间连续的要求就变得很苛刻了。

二分的变形问题

二分查找的变形问题很多，可能不是那么好写。这里有四种常见的二分查找变形问题：

1.查找第一个值等于给定值的元素

2.查找最后一个值等于给定值的元素

3.查找第一个大于等于给定值的元素

4.查找最后一个小于等于给定值的元素

1.2解法如下：

li[mid] 和需要查找的 n 的大小关系有三种情况： 大于、小于、等于。以第一个问题为例，对于li[mid] > n 的情况，我们需要更新 high = mid-1；对于li[mid] < value的情况，我们需要更新 high = mid - 1;对于 li[mid] = value 的情况，有俩种处理方式。

当 li[mid] 等于要查找的值的时候， a[mid] 就是我们要找的元素，但是此时是求解的第一个值等于给定值的元素，所以这里需要确认一下是不是第一个值等于给定值的元素。

如果 mid 等于 0，那么这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的，如果 mid 不等于 0，但 li[mid] 的前一个元素不等于 n ，那么说明此时我们找到了第一个值等于定值的元素在 li[mid] 处。

如果经过检查以后发现 li[mid] 前面的一个元素也等于 n，那么说明此时的 li[mid] 肯定不是我们要查找的第一个值等于定值的元素，此时我们更新 high = mid-1，因为要找的元素肯定出现在[low...mid-1]之间。

第二个问题逆向推一下同上。