递归是一个比较难理解的问题，但是递归是一种非常广泛的算法，如数据结构中的树和图都会应用队规的算法。一般大家会拿汉诺塔进行举例，但是还有更容易理解的例子。
周末你去看电影，然后你忘记了现在坐的是第几排了，电影院太黑了，看不清，没法数，怎么办？
这个时候就可以问递归解决了，于是你问前面的人是第几排，你想只要在他的数字上加一，就知道自己是第几排了。但是，前面的人也看不清是第几排呀，于是他也问他前面的人。就这样一排一排往前问，直到问道第一排的人，说我在第一排，这样一排一排再把数字传回来。
这是一个很标准的递归求解问题的分解过程。所有递归问题都可以用递归公式来表示。
总结一下，就是一个递归要满足三个条件：
1.一个问题的解可以分解成几个子问题的解
2.这个问题与分解之后的子问题，除了数据规模不同，求解思路完全一样
3.存在递归终止条件
即写出一个递归函数，例子如下：
f(n) = f( n-1) +1 其中，f(1) = 1
改成代码为：
#python 3 def f(x:int) ->int: if ( n==1): return 1 return f( n-1) +1
再举个例子，假如这里有 n 个台阶，每次可以跨一个或者俩个台阶，请问走这 n 个台阶有多少种走法？
我们仔细想一下，实际上，我们可以根据第一步的走法把所有走法分为两类，第一类是第一步走了1个台阶，另一类是第一步走了2个台阶。用公式表达式为：
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
我们在看一下终止条件，当只有一个台阶的时候，我们不需要再继续递归，所以f(1) =1，当 n=2 的时候，f(2)=f(1)+f(0)，这里还需要一个f(0)，但是这个情况看起来并不合理（因为不管怎么样我们都要跨一步或者俩步），所以我们把f(2)= 2也作为一种终止条件，表示走俩个台阶，有俩种走法，一步走完或者分俩步来走。
f(n) = f(n-1) + f(n-2) 其中 f(1) = 1；f(2) = 2
避免重复计算
以刚才的例子为例，如果想要计算f(5)，首先要计算f(4)和f(3)，而计算f(4)还需要计算f(3)，因此f(3)就被计算了多次，这就是重复计算四年的问题。
为了避免重复计算，我们可以通过一个数据结构来保存已经求解过的f(k)。当递归调用到f(k)时，先看一下是否已经求解过了，如果是，直接从散列表种取值返回，如果不是，则添加进散列表。
#python3
di =dict() def f(n:int) -> int: global di if (n == 1) : return 1 if (n == 2) : return 2 if n in di.values(): return di.get(n) temp = f(n -1) +f(n-2) di[n]=temp return temp
将递归改为非递归代码：
笼统地讲，所有的递归本身都是借助栈来实现的，如果我们自己在内存堆上实现栈，手动模拟出栈入栈过程，所有的递归代码都可以改成不是递归代码的样子。
如前面我们讲到的俩个例子，以第一个例子为例：
#problem 1 def f(n:int) -> int: ret = 1 for i in range(n): ret =ret +1 return ret
递归的缺点：
在编写递归的过程中，往往会遇到很多问题，比如堆栈溢出。因为函数调用使用栈来保存临时变量，每调用一个函数，都会将临时变量封装为帧栈压入内存栈，等函数执行完成返回时，才出栈。如果递归求解的数据规模很大，调用层次很深，一直压入栈，就会有堆栈溢出的风险。