• LuoguP6694 强迫症 找规律+NTT


    比赛的时候切的,可惜没抢到首 A.

    权值和等于 $sum_{i=1}^{n} sum_{j=i+1}^{n} a_{i} imes a_{j} imes f(j-i+1) imes f(n-j+i+2)$,最后再除以 4.  

    然后这里的 $f(n)$ 就代表 $n$ 个点构成的圆环的不相交生成子图的方案数.

    可以将前 $5$ 项打表打出来,上 $OEIS$ 找到通项公式,然后就可以拿到 $40$pts 的好成绩.         

    观察上面的式子,我们发现可以枚举 $f(j-i+1)$ 的长度,然后就要求有贡献的点对距离必须为 $(j-i+1)$,这个用 NTT 来求即可. 

    code: 

    #include <cstdio>  
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #define N 100007
    #define ll long long 
    #define mod 998244353
    #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) 
    using namespace std; 
    int a[N],pw[N],n,val[N],f[N],A[N<<2],B[N<<2];   
    int qpow(int x,int y) { 
        int tmp=1; 
        for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod) {   
            if(y&1) {   
                tmp=(ll)tmp*x%mod;  
            }
        }
        return tmp;  
    }  
    int get_inv(int x) { 
        return qpow(x,mod-2);  
    }
    void NTT(int *a,int len,int op) { 
        for(int i=0,k=0;i<len;++i) {   
            if(i>k) { 
                swap(a[i],a[k]);
            }  
            for(int j=len>>1;(k^=j)<j;j>>=1);  
        }     
        for(int l=1;l<len;l<<=1) { 
            int wn=qpow(3,(mod-1)/(l<<1));  
            if(op==-1) { 
                wn=get_inv(wn); 
            }  
            for(int i=0;i<len;i+=l<<1) { 
                int w=1;  
                for(int j=0;j<l;++j) { 
                    int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+j+l]%mod;  
                    a[i+j]=(ll)(x+y)%mod;  
                    a[i+j+l]=(ll)(x-y+mod)%mod;  
                    w=(ll)w*wn%mod;  
                }
            }
        }
        if(op==-1) { 
            int iv=get_inv(len);  
            for(int i=0;i<len;++i) {    
                a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;  
            }
        }
    }     
    void init() {
        pw[0]=1;
        for(int i=1;i<N;++i) {
            pw[i]=(ll)pw[i-1]*2%mod;
        }
        a[0]=a[1]=1;
        for(int i=2;i<N;++i) {
            a[i]=(ll)(6*i-3)*a[i-1]%mod;
            (a[i]+=(ll)(mod-(ll)(i-2)*a[i-2]%mod)%mod)%=mod;
            a[i]=(ll)a[i]*get_inv(i+1)%mod;
        }
        f[2]=2;
        for(int i=3;i<N;++i) {
            f[i]=(ll)a[i-2]*pw[i]%mod;
        }
    }   
    int main() {
        // setIO("input");
        init();
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;++i) {
            scanf("%d",&val[i]);   
        }   
        for(int i=0;i<n;++i) { 
            A[i]=val[i];  
            B[i]=val[n-1-i];  
        }
        int lim; 
        for(lim=1;lim<=2*n;lim<<=1);   
        NTT(A,lim,1),NTT(B,lim,1);  
        for(int i=0;i<lim;++i) { 
            A[i]=(ll)A[i]*B[i]%mod; 
        }
        NTT(A,lim,-1);      
        int ans=0,inv2=get_inv(4); 
        for(int i=1;i<n;++i) { 
            int x=i+1;  
            int y=n-x+2;   
            (ans+=(ll)A[i+n-1]*f[x]%mod*f[y]%mod*inv2%mod)%=mod; 
        } 
        printf("%d
    ",(ll)ans*get_inv(f[n])%mod);
        return 0;
    }
    

      

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/guangheli/p/13397673.html
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