CF908G New Year and Original Order 数位DP

数位 DP.  

题意：给定 $n leqslant 10^{700}$，求 $1$ 到 $n$ 中每个数在各数位排序后得到的数的和.       

这道题从整体上看上去貌似不太可做，不妨从每一位开始考虑.    

比如说我们可以考虑第 $i$ 位为 $k$ 的数目，然后乘上 $10^i$ 后就是这一位的贡献了.       

这么做的好处是不用考虑其他位置上填的是什么.    

直接求第 $i$ 个位置上是 $k$ 不太好求，不妨考虑大于等于 $k$ 的方案数.     

那么 $k$ 的贡献就是 $sum f[i][j]$ 其中 $j leqslant k$.   

由于 $j$ 在 $1$ ~ $k$ 时会贡献 $k$ 次，所以我们求出 $f[i][j]$ 乘上对应次幂加和就是答案了.    

假如第 $i$ 位置的数大于等于 $k$，那么 $i+1$ ~ $n$ 位置的数也必须大于等于 $k$.  

所以不妨设状态 $f[i][j][k][l]$ 表示当前考虑到第 $i$ 位，有 $j$ 个位置大于等于 $k$，是否顶着 $n$ 的上界.      

这个可以用数位 DP 求，转移也比较简单.   

然后考虑最后求出了 $f[n][j][k][0/1]$，第 $i$ 位置的贡献就是 $sum f[n][j][k][0/1] imes 10^j$ ( $i leqslant j$)    

那么总结下来就是 $ans=sum f[n][j][k][0/1] imes 111111$ ( $j$ 个 1）                

code:  

#include <cstdio> 
#include <cstring>
#include <algorithm>    
#define N 703   
#define ll long long 
#define mod 1000000007
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)   
using namespace std; 
char str[N];    
int n,a[N],f[N][N][10][2];    
int main() {
    // setIO("input");     
    scanf("%s",str+1),n=strlen(str+1);   
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=str[i]-'0';      
    for(int i=1;i<=9;++i) f[0][0][i][0]=1;       
    for(int i=0;i<n;++i) {          
        for(int k=1;k<=9;++k) {     
            for(int j=0;j<=i;++j) {             
                for(int l=0;l<2;++l) { 
                    int lim=l?9:a[i+1];      
                    for(int p=0;p<=lim;++p) {
                        (f[i+1][j+(p>=k)][k][l|(p<a[i+1])]+=f[i][j][k][l])%=mod;    
                    }
                }
            }
        }
    }          
    int ans=0; 
    for(int k=1;k<=9;++k) {         
        int re=1;    
        for(int i=1;i<=n;++i) {  
            (ans+=(ll)re*(f[n][i][k][0]+f[n][i][k][1])%mod)%=mod;   
            re=(ll)((ll)re*10%mod+1)%mod;    
        }
    }
    printf("%d
",ans);     
    return 0;  
}