组合数学入门

这里总结一下几个简单的组合模型 :

1. 由 $0,1,2,3,4,5$ 可以组成多少个没有重复数字的五位奇数 

优先考虑末位： $C(3,1)$
再考虑首位不能为0： $C(4,1)$
其余的随便排 ： $A(4,3)$ 
$ans=C(3,1) imes C(4,1) imes A(4,3)$  

 2.  7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.

 把甲乙和丙丁分别进行捆绑，视为一个整体，与其他元素一起排列.
 $ans=A(5,5) imes A(2,2) imes A(2,2)$ 

 3.  一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场, 则节目的出场顺序有多少种？

 

舞蹈不能连续出场，则一定被相声与独唱隔开.
排一下相声与独唱, 为 $A(5,5)$ 
那么，只需把 4 个舞蹈插入到包括首尾的 6 个空隙中即可.
即 $ans= imes A(5,5) imes A(6,4)$

 

4. 7人排队，其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法

可以先把 7 个人都排出来，即 $A(7,7)$
我们要把 甲乙丙 3 人的顺序固定，那么这三个人就只能产生一种顺序的贡献，除去 $A(3,3)$ 即可.

则不同方案有 $ans=frac{A(7,7)}{A(3,3)}$

5. 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法

没啥特殊限制，$ans=7^6$

6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?

围桌时和普通的排列有一点区别. 
8 个人围桌，按照 12 点方向为第一个人进行直线展开的话会得到 8 种结果. 而实际上，这些排列都是等价的.
所以，直线排列转换成圆排列时还要除以元素个数.
即 $frac{A(n,m)}{m}$
本题为 $7!$

7. 8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

直接按照直排策略求解即可.
前排甲乙的方案数为 $A(4,2)$
后排丙的方案数为 $A(4,1)$
其余 5 人随便排，为 $A(5,5)$
$ans=A(4,2) imes A(4,1) imes A(5,5)$

 

 

8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，求共有多 少不同的装法

肯定会有一个盒子装 2 个球，其余盒子个装一个.
可以把两个球进行捆绑，为 $C(5,2)$
再把两个球看作整体，与其余的 3 个球构成全排列.
$ans=C(5,2) imes A(4,4)$

 

 

 9.6 本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法

 直接求 ： $C(6,2) imes C(4,2) imes C(2,2)$
 然而，这样求是不对的.
 每种方案其实都是被重复计算了.
 因为这个方案构成了一个天然的排列（我们是不要求有序的）
 即 $ans=frac{C(6,2) imes C(4,2) imes C(2,2)}{A(3,3)}$