DFA 确定性有限状态自动机
DFA确定性有限状态自动机是一种图结构的数据结构，可以由(Q, q0, A, Sigma, Delta)来描述，其中Q为状态集，q0为初始状态，A为终态集合，Sigma为字母表，Delta为转移函数。它表示从唯一一个起始状态q0开始，经过有限步的Delta转移，转移是根据字母表Sigma中的元素来进行，最终到达终态集合A中的某个状态的状态移动。 
如图所示是一个终态集合为{"nano"}的DFA。
DFA只能有一个起点而可以有多个终点。每个节点都有字符集大小数条有向边，并且任一节点，都不会存在相同字符的有向边指向不同的节点。
Trie树
Trie树为单词前缀树，m个模式串中的前缀所组成的集合A与根节点到每一个树中的节点的路径上的字符组成的字符串S所组成的集合B，是满射关系。具体参见:Trie树
例如可以利用Trie树求字符串S的所有不同子串：
假设当前字符串为S，用S的所有后缀作为len(S)个模式串，插入到一棵Trie树中，Trie树中的每个节点对应的字符串就是字符串S中的一个子串，不同子串一定对应不同的节点。
Trie图
1. Trie图结构
Trie图为以Trie树为基础构造出来的一种DFA。对于插入的每个模式串，其插入过程使用的最后一个节点都作为DFA的一个“终止”节点。
如果要求一个母串包含哪些模式串（即该母串的某个子串恰好等于预先给定的某个模式串），以母串作为DFA的输入 ，在DFA上行走，走到“终止”节点就意味着匹配了相应的模式串。
2. 失配处理
在行走的过程中，如果出现母串中的下一个字符在Trie图中当前位置处没有一个子节点与之对应，或者Trie图中的当前位置正好匹配了一个模式串，那么需要调整母串重新匹配的位置。一般，可以调整母串上开始匹配的位置，使之加1，再尝试从Trie图的根节点位置开始匹配。这样显然效率很低。可以参考KMP算法的最长相同前后缀的方法，来避免回溯。
3. 前缀指针
为了避免回溯，参考KMP的next数组，在Trie图中定义“前缀指针”：
从根节点到节点P可以得到一个字符串S，节点P的前缀指针定义为 指向树中出现过的S的最长后缀（不能等于S）
4. 高效的构造前缀指针
根据深度一一求出每一个节点的前缀指针。对于当前节点，设它的父节点与它的边上的字符为ch，如果它的父节点的前缀指针所指向的节点的儿子节点中，有通过ch字符指向的儿子，那么当前节点的前缀指针指向该儿子节点，否则通过当前节点父节点的前缀指针指向节点的前缀指针，继续向上查找，直到到达根为止。 
5. 危险节点
（1）“终止”节点是危险节点
（2）如果一个节点的前缀指针指向危险节点，则该节点为危险节点
6. 在建立好的Trie图上遍历
从root出发，按照当前串的下一个字符ch进行在树上的移动。若当前点P不存在通过ch连接的儿子，那么将P的前缀指针所指向的节点Q作为当前节点；
如果还无法找到通过ch连接的儿子节点，再考虑Q的前缀指针指向的节点（将之作为当前节点）....;
直到找到通过ch连接的儿子，再继续遍历；
如果遍历的过程中经过了某个非终止节点的危险节点，则可以断定S包含某个模式串，要找出是哪个模式串，沿着危险节点的前缀指针走，碰到终止节点即可。
7. Trie图的时间复杂度
在Trie图上遍历母串S的时间复杂度为len(S)。
（1）母串每过掉一个字符，不论该字符是匹配上还是没匹配上，在trie图上最多向下走一层
（2）一个节点的前缀指针总是指向更高层次的节点，所以每次沿着前缀指针走一步，节点的层次就会向上一层
（3）母串S最终被过掉了len(S)个字符，所以最多向下走了len(S)次。
（4）最多向下走了len(S)次，那么就不可能向上走超过len(S)次，因此沿着前缀指针走的次数，做多不超过len(S)
前缀指针思想
Trie通过前缀指针来避免母串的回溯，其思想和KMP算法非常相似。
KMP算法是通过确定子串中失配点之前的子串的最长相同前后缀，失配时，母串当前点不回溯，而是直接和最长相同前后缀的前缀处继续进行匹配。 
（kmp 避免母串指针回溯）
和KMP类似，Trie图中的每个节点都对应一个模板串（节点为终止节点）或者模板串的子串（节点不是终止节点），记为S。S可以确定len(S)-1个后缀（从S中的第2到第len(S)-1个位置到S的末尾确定），其中有些后缀串Si可能正好对应该Trie图中从root节点出发的到某个节点Pi确定的串。
如上图所示，绿色方块区域为从母串上一个开始匹配点到失配点之前的匹配区域，红色为失配点，该绿色匹配区域中有两个后缀子串sub1[S1,A]区域和sub2[S2,A]区域，分别对应Trie图中从root出发到P1,P2点确定的串。且母串中[S1,E1]和[S2,E2]分别对应一个模式串。
母串不回溯，Trie图上当前点的移动，可以匹配母串中存在的所有的模式串
以上图为例此时，需要确定母串指针之后的移动可以找到[S1，E1]和[S2，E2]两个模式串，策略是先匹配起点靠前的那个串，即[S1，E1]。
case 1 E1 > E2
母串指针不回溯，Trie图的当前点转移到P1（从root到P1对应[S1,A]),然后尝试匹配。匹配成功，到达E1点，此时将Trie图中点从E1移动到E1的前缀指针，由于[S2,E1]为[S1,E1]的最长后缀，即移动到点P，使得root到P为[S2，E1]。因为Trie图中[S2，E2]对应从root出发到某个点Q的串，那么root到Q的路径必然经过点P,此时从点P继续匹配，必然能够到达Q；
这样，就得到了[S1，E1]和[S2，E2]两个模式串。
case 2 E1 < E2 
母串指针不回溯，Trie图的当前点转移到P1（从root到P1对应[S1,A]),然后尝试匹配。由于[S1,E1]对应一个模式串，即对应Trie图中的某个终止节点，从P1点开始会一直匹配到达P（从root到P对应[S1,E1])。在匹配的过程中，会碰到某个点危险节点M，M指向节点Q（从root到Q对应[S2,E2]）(这是在设置Trie图中各个节点的前缀指针的时候确定的），根据Trie图的遍历规则，会得到[S2，E2]的模式串。这样，就得到了[S1，E1]和[S2，E2]两个模式串。
Trie图实现（c++)
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<string>
using namespace std;
#define LETTERS 26
int gNodeCount = 2;
struct Node{
Node* childs[LETTERS]; //子节点
Node* prev; //前缀指针
bool danger_node; //是否危险节点
Node(){
Init();
}
void Init(){
memset(childs, 0, sizeof(childs));
danger_node = false;
prev = NULL;
}
};
Node gNodes[2000];
void Insert(Node* root, char* str){
char* p = str;
Node* node = root;
while (*p != ' '){
int index = *p - 'A';
if (node->childs[index] == 0){
node->childs[index] = gNodes + gNodeCount ++;
}
node = node->childs[index];
p++;
}
node->danger_node = true;
}
//在Trie树上添加前缀指针
void BuildDfa(){
Node* root = gNodes + 1;
for (int i = 0; i < LETTERS; i++){ //为虚拟节点
gNodes[0].childs[i] = root;
}
root->prev = gNodes;
gNodes[0].prev = NULL;
deque<Node*> Q;
Q.push_back(root);
while (!Q.empty()){
Node* node = Q.front();
Node* prev = node->prev, *p;
Q.pop_front();
for (int i = 0; i < LETTERS; i++){
if (node->childs[i]){
p = prev;
while (p && !p->childs[i]){
p = p->prev;
}
node->childs[i]->prev = p->childs[i];
//这个地方注意，不能写成 p->childs[i]->danger_node = node->childs[i]->danger_node
if (p->childs[i]->danger_node)
node->childs[i]->danger_node = true;
Q.push_back(node->childs[i]);
}
}
}
}
bool SearchDfa(char* str){
char*p = str;
Node* node = gNodes + 1;
while (*p != ' '){
int index = *p - 'A';
if (node->danger_node)
return true;
while (node&& !node->childs[index]){
node = node->prev;
}
p++;
}
return false;
}