• poj_1037 动态规划+字典序第k大


    题目大意

        给定n个数字,规定一种 cute 排序:序列中的数字大小为严格的波浪形,即 a[0] > a[1] < a[2] > a[3] < .... 或者 a[0] < a[1] > a[2] < a[3] .....。对于N个数字来说,可以构成多个cute序列,这些序列按照字典序进行排序,求出第k个序列。

    题目分析

    一、求字典序的第i个排列

        直接一位一位枚举答案!从前到后枚举求得每一位:枚举一位时,计算在这样的前缀下,后面的总的排列数。如果严格小于总编号,则该位偏小,换更大的数,同时更新总编号;若大于等于,则该位恰好,枚举下一位,总编号不用更新。

    二、使用动态规划

        由于题目要求按照字典序的第k个cute序列,因此我们需要在字典序中,n个数字构成的cute序列以第i大为开头的有多少个。这样一个计数问题,有子结构 + 无后效性(需要进一步证明), 因此考虑使用动态规划。
        一般使用动态规划来解决问题需要问题满足几个条件: 
    (1)可以划分子问题,子问题与总问题相似 
    (2)无后效性 
        由n个数字构成的cute序列(波浪形序列)中,其连续的n-1个数字肯定也是cute序列; 
        无后效性,在设计状态,并用动归数组dp表示状态、推演状态的时候,需要保证当前点以后的状态只和当前点的状态有关,而与当前点是如何到达(未来的状态只和当前点的当前数值有关,和过去到当前点的路径的无关)。

         
         
        首先考虑 A[n] 表示n个数字构成的cute序列的总数,显然太粗糙,不知道n个数字之间的关系,无法进行状态推演; 
        然后考虑 A[n][i] 表示由n个数字构成的,且以n个数字中第i大为开头的cute序列的总数,这样来进行状态推演的时候,A[n][i] = sum-of(A[n-1][k]),选择哪些k,和i和k的大小关系有关,因此不能保证无后效性; 
        因此考虑使用 Up[n][i] 表示n个数字构成的,且以第i大为首的上升序列(a[1] > a[0])的个数;Down[n][i]表示n个数字构成的,以第i大为首的下降序列(a[1] < a[0])的个数,这样,就有递推关系:

        for (int k = i; k <= m - 1; k++){
        Up[m][i] += Down[m - 1][k];
        }
        for (int k = 1; k < i; k++){
        Down[m][i] += Up[m - 1][k];
        }
    

    实现 (c++)

    #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
    #include<stdio.h>
    #include<algorithm>
    #include<string.h>
    #include<vector>
    using namespace std;
    #define MAX_COL_NUM 22
    long long int Up[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];
    long long int Down[MAX_COL_NUM][MAX_COL_NUM];
    
    int main(){
    	int T, N;
    	long long int C;
    	scanf("%d", &T);
    
    	//用动态规划,先求出dp数组。
    	//Up表示开始是上升(即A[1] > A[0]) 的波浪数组, Down表示开始是下降的波浪数组
    	//Up[n][i] 表示有n个数组成的序列,将第i大的数作为第一位的上升序列的个数
    	//Down[n][i] 表示由n个数组成的序列,将第i大的数作为第一位的下降序列个数
    	memset(Up, 0, sizeof(Up));
    	memset(Down, 0, sizeof(Down));
    
    	Up[1][1] = 1;
    	Down[1][1] = 1;
    	for (int m = 1; m <= MAX_COL_NUM - 1; m++){
    		for (int i = 1; i <= m; i++){
    			for (int k = i; k <= m - 1; k++){
    				Up[m][i] += Down[m - 1][k];
    			}
    			for (int k = 1; k < i; k++){
    				Down[m][i] += Up[m - 1][k];
    			}
    		}
    	}
    
    
    	while (T--){
    		scanf("%d %llu", &N, &C);
    		
    		//候选序号,存放在vector中,便于删除
    		vector<int> candidates;
    		candidates.push_back(0);
    		for (int m = 1; m <= N; m++){
    			candidates.push_back(m);
    		}
    
    		
    		int result[MAX_COL_NUM];	//存放最后求出的序列
    		int n = N;
    		long long int left = C;
    
    		//字典序第k大的序列
    		int next_dir = 2;	//下一次选用的首数字和第二个数字构成上升还是下降序列,由之前序列的趋势决定
    							//0, 下降; 1上升; 2 both
    							//开始设为2,表示总序列的第一个和第二个之间的关系不明确
    		while (n >= 1){
    			int k = 1;
    			//n 表示,此次循环是在n个数中选择
    			//k 表示,此次选择n个数的第k大(这n个数放在 vector candidate中)去构成序列
    			while (k <= n){				
    				if (next_dir == 0 && candidates[k] > result[N-n-1]){
    					if (left > Down[n][k]){
    						left -= Down[n][k];
    					}
    					else{
    						break;
    					}
    				}
    
    				if (next_dir == 1 && candidates[k] < result[N-n-1]){
    					if (left > Up[n][k]){
    						left -= Up[n][k];
    					}
    					else{
    						break;
    					}
    				}
    				
    				if (next_dir == 2){
    					if (left > (Up[n][k] + Down[n][k])){
    						left -= (Up[n][k] + Down[n][k]);
    					}
    					else{
    						break;
    					}
    				}
    				k++;
    			}
    			if (k > n)
    				k = n;
    			result[N - n] = candidates[k];
    
    			next_dir = ! next_dir;		//波浪形数组,方向取反
    				
    			//当选择出来第一个数字之后,可以根据 left (剩余的序号)以及 Down[n][k](以选择出来的数字为开头的下降序列的个数 ) 决定
    			//如果 剩余的序号 小于等于 以选择出来的数字为开头的下降序列总数,则说明 第一个数字和第二个数字为下降,之后的next_dir 为上升
    			//否则,为下降
    			if (n == N){
    				if (left <= Down[n][k])
    					next_dir = 1;
    				else{
    					left -= Down[n][k];
    					next_dir = 0;
    				}
    					
    			}
    			
    			//从候选数组中删除已经选择出来的那个数
    			candidates.erase(candidates.begin() + k);
    			n --;
    		}
    		for (int i = 0; i < N; i++){
    			printf("%d ", result[i]);
    		}
    		printf("
    ");
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/gtarcoder/p/4780791.html
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