复杂度分析（上）：如何分析、统计算法的执行效率和资源消耗？

1、大 O 复杂度表示法

int cal(int n) {
   int sum = 0;
   int i = 1;
   int j = 1;
   for (; i <= n; ++i) {
     j = 1;
     for (; j <= n; ++j) {
       sum = sum +  i * j;
     }
   }
 }

第 2、3、4 行代码，每行都需要 1 个 unit_time 的执行时间，第 5、6 行代码循环执行了 n 遍，需要 2n * unit_time 的执行时间，第 7、8 行代码循环执行了 n²遍，所以需要 2n²* unit_time 的执行时间。所以，整段代码总的执行时间 T(n) = (2n²+2n+3)*unit_time。用大 O 表示时间复杂度T(n) = O(n²)。

规律：所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数 n 成正比。

公式： 

含义：T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。 

定义：大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。当 n 很大时，你可以把它想象成 10000、100000。而公式中的低阶、常量、系数三部分并不左右增长趋势，所以都可以忽略。我们只需要记录一个最大量级就可以了，如果用大 O 表示法表示这段代码的时间复杂度，就可以记为： T(n) = O(n²)。

2、复杂度分析法则

1）单段代码看高频：比如循环。
2）多段代码取最大：比如一段代码中有单循环和多重循环，那么取多重循环的复杂度。
3）嵌套代码求乘积：比如递归、多重循环等
4）多个规模求加法：比如方法有两个参数控制两个循环的次数，那么这时就取二者复杂度相加。

3、几种常见时间复杂度实例分析

多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用，按照多项式的比例增长。包括，O(1)（常数阶）、O(logn)（对数阶）、O(n)（线性阶）、O(nlogn)（线性对数阶）、O(n²)（平方阶）、O(n³)（立方阶）

非多项式阶：随着数据规模的增长，算法的执行时间和空间占用暴增，这类算法性能极差。包括，O(2ⁿ)（指数阶）、O(n!)（阶乘阶）

案例：

      1、O(1)  常数阶：一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句，即使有成千上万行的代码，其时间复杂度也是Ο(1)。

 int i = 8;
 int j = 6;
 int sum = i + j;

    2、O(logn)  对数阶：

  i=1;
 while (i <= n)  {
   i = i * 2;
 }

第三行代码是循环执行次数最多的，只要能计算出这行代码被执行了多少次，就能知道整段代码的时间复杂度。从代码中可以看出，变量 i 的值从 1 开始取，每循环一次就乘以 2。当大于 n 时，循环结束。还记得我们高中学过的等比数列吗？实际上，变量 i 的取值就是一个等比数列。如果我把它一个一个列出来，就应该是这个样子的：

所以，我们只要知道 x 值是多少，就知道这行代码执行的次数了。通过 2^x=n 求出x=log₂n，所以，这段代码的时间复杂度就是 O(log₂n)。但是当n无穷大的时候，忽略对数的“底”，统一表示为 O(logn)。

   3、O(nlogn)    线性对数阶:  如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)，我们循环执行 n 遍，时间复杂度就是 O(nlogn) 了。比如，归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。

　4、O(m+n)、O(m*n)   ：代码的复杂度由两个数据的规模来决定。如下面的代码时间复杂度就是 O(m+n)。

int cal(int m, int n) {
  int sum_1 = 0;
  int i = 1;
  for (; i < m; ++i) {
    sum_1 = sum_1 + i;
  }

  int sum_2 = 0;
  int j = 1;
  for (; j < n; ++j) {
    sum_2 = sum_2 + j;
  }

  return sum_1 + sum_2;
}