回溯算法

回溯算法

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回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。 [1] 

中文名

回溯算法

外文名

backtracking algorithm

其他名称

试探法

方    法

一种系统地搜索问题的解

基本思想

能进则进

例    题

八皇后问题

目录

1. 1 来源
2. 2 基本思想
3. 3 算法框架
4. 4 典型例题
5. ▪ 问题描述
6. ▪ 代码

来源

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回溯算法也叫试探法，它是一种系统地搜索问题的解的方法。

用回溯算法解决问题的一般步骤：

1、 针对所给问题，定义问题的解空间，它至少包含问题的一个（最优）解。

2 、确定易于搜索的解空间结构,使得能用回溯法方便地搜索整个解空间 。

3 、以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

确定了解空间的组织结构后，回溯法就从开始结点（根结点）出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动（回溯）至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。 [2] 

基本思想

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回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。八皇后问题就是回溯算法的典型，第一步按照顺序放一个皇后，然后第二步符合要求放第2个皇后，如果没有位置符合要求，那么就要改变第一个皇后的位置，重新放第2个皇后的位置，直到找到符合条件的位置就可以了。回溯在迷宫搜索中使用很常见，就是这条路走不通，然后返回前一个路口，继续下一条路。回溯算法说白了就是穷举法。不过回溯算法使用剪枝函数，剪去一些不可能到达 最终状态（即答案状态）的节点，从而减少状态空间树节点的生成。回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的的搜索算法。它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。否则，进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。回溯法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。而回溯法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯法，它适用于解一些组合数较大的问题。

算法框架

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（pascal语言）

1 2 3 4 5 6 7 8 9

procedure try(i:integer); var begin if i>n then 输出结果 else for j:=下界 to 上界 do begin x[i]:=h[j]; if 可行{满足限界函数和约束条件} then begin 置值；try(i+1); end; end;

（c++）以下以一道题目为例，素数环问题

将从1到n这n个整数围成一个圆环，若其中任意2个相邻的数字相加，结果均为素数，那么这个环就成为素数环。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

#include<iostream> #include<cmath> #include<cstdio> using namespace std; int ans[21] = {0}, tot = 0; bool a[21] = {0}; void print(){ tot++; cout << "No." << tot << ':'; for (int i = 1; i <= 20; i++) cout << ans[i] << ' '; cout << endl; } bool isprime(int x1, int x2){ int i = x1 + x2,f; for (f = 2; f <= sqrt(i); f++) if (i % f == 0) return false; return true; } int search(int t){ for (int i = 1; i <= 20; i++){ if (a[i] == false && isprime(ans[t - 1], i)){ ans[t] = i; a[i] = true; if (t == 20 && isprime(ans[1], ans[20])) print(); else search(t + 1); a[i] = false; } } } int main() { search(1); printf("The total is　%d", tot); }

典型例题

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问题描述

八皇后问题：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

代码

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int g_number = 0;    void EightQueen() {     const int queens = 8;     int ColumnIndex[queens];     for(int i = 0; i < queens; ++ i)         ColumnIndex[i] = i;        Permutation(ColumnIndex, queens, 0); }    void Permutation(int ColumnIndex[], int length, int index) {     if(index == length)     {         if(Check(ColumnIndex, length))         {             ++ g_number;             PrintQueen(ColumnIndex, length);         }     }     else     {         for(int i = index; i < length; ++ i)         {             int temp = ColumnIndex[i];             ColumnIndex[i] = ColumnIndex[index];             ColumnIndex[index] = temp;                Permutation(ColumnIndex, length, index + 1);                temp = ColumnIndex[index];             ColumnIndex[index] = ColumnIndex[i];             ColumnIndex[i] = temp;         }     } }    bool Check(int ColumnIndex[], int length) {     for(int i = 0; i < length; ++ i)     {         for(int j = i + 1; j < length; ++ j)         {             if((i - j == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j])                 || (j - i == ColumnIndex[i] - ColumnIndex[j]))             return false;         }     }        return true; }    void PrintQueen(int ColumnIndex[], int length) {     printf("Solution %d\n", g_number);        for(int i = 0; i < length; ++i)         printf("%d\t", ColumnIndex[i]);          printf("\n"); }

参考资料

• 1.  回溯算法的形式模型  ．中国知网．2001-09-15[引用日期2017-03-10]
• 2.  改进回溯算法实现N皇后问题求解  ．中国知网．2016-06-18[引用日期2017-03-10]