使用二叉树的递归套路来解决的问题
作者：Grey
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说明
二叉树的递归套路本质是二叉树的后序遍历，如果你需要你的左树给你一些信息，右树给你一些信息，然后整合得到当前节点的信息，就可以用二叉树的递归套路。
以下问题都可以使用二叉树递归套路来解决，时间复杂度O(N)（即：经历一次后续遍历的时间复杂度）
是否完全二叉树
什么是完全二叉树：每一层都是满的，或者即便不满，也是从左到右依次变满的
梳理一下一棵树是完全二叉树的可能性，对于一棵树的根节点 root：
-
如果左右树都是满二叉树，那么当前节点为根节点的树一定是完全二叉树。
-
如果左右树不都是满二叉树，但是左边满足满二叉树，右边是完全二叉树，且左右树的高度一致，此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。
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如果左右节点不都是满二叉树，左树是完全二叉树，右树是满二叉树，且左树高度比右树高度大1，此时当前节点为根节点的树也是完全二叉树。
除了上述三种可能性，其他情况下 root 为根节点的树都不是完全二叉树。
根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
-
左右树是否满二叉树
-
左右树是否完全二叉树
-
左右树的高度
有以上三个信息，就可以判断上述的三种可能性了。
完整代码如下
class Solution {
public static class Info {
// 是否满二叉树
private boolean isFull;
// 是否完全二叉树
private boolean isCBT;
// 树的高度
private int height;
public Info(boolean isFull, boolean isCBT, int height) {
this.isFull = isFull;
this.isCBT = isCBT;
this.height = height;
}
}
public static boolean isCompleteTree(TreeNode head) {
if (null == head) {
return true;
}
return p(head).isCBT;
}
private static Info p(TreeNode head) {
if (head == null) {
return new Info(true, true, 0);
}
Info left = p(head.left);
Info right = p(head.right);
int height = Math.max(left.height, right.height) + 1;
boolean isFull = left.isFull && right.isFull && (left.height == right.height);
if (isFull) {
// 是满二叉树，肯定是完全二叉树
return new Info(true, true, height);
}
// 不是满二叉树
if (left.height == right.height) {
boolean isCBT = left.isFull && right.isCBT;
return new Info(false, isCBT, height);
}
if (left.height - right.height == 1) {
boolean isCBT = left.isCBT && right.isFull;
return new Info(false, isCBT, height);
}
return new Info(false, false, height);
}
}
是否为平衡二叉树
如何判断一棵树是否是平衡二叉树？有下述三种情况：
-
平衡二叉树要么是一棵空树。
-
要么保证左右子树的高度之差不大于 1。
-
子树也必须是一颗平衡二叉树。
根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
-
左右树是否为平衡二叉树
-
左右树的高度
有以上二个信息，就可以判断上述的三种可能性了。
完整代码如下：
class Solution {
public static boolean isBalanced(TreeNode head) {
if (null == head) {
return true;
}
return p(head).isBalanced;
}
private static Info p(TreeNode head) {
if (head == null) {
return new Info(0, true);
}
Info left = p(head.left);
Info right = p(head.right);
int height = Math.max(left.height, right.height) + 1;
boolean isBalanced = (Math.abs(left.height - right.height) <= 1) && left.isBalanced && right.isBalanced;
return new Info(height, isBalanced);
}
public static class Info {
private int height;
private boolean isBalanced;
public Info(int height, boolean isBalanced) {
this.height = height;
this.isBalanced = isBalanced;
}
}
}
是否为搜索二叉树
如何判断是否为二叉搜索树？即：中序遍历严格递增。
对于一棵树的根节点 root， 有下述三种情况：
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如果当前节点左树右树都不为空，且左右树都是搜索二叉树，且当前节点值比左树最大值都大，比右树最小值要小，则以 root 为根节点的树是二叉搜索树。
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如果左树为空，且右树是搜索二叉树，且当前节点值比右树最小值要小。
-
如果右树为空，且左树是搜索二叉树，且当前节点值比左树最大值要大。
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如果左右树都是空，默认当前节点就是二叉搜索树
除此之外，以 root 为节点的二叉树都不是搜索二叉树。
根据上述可能性，我们可以确认当前节点需要左右树给自己汇报如下三个信息。
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左右树的最大值
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左右树的最小值
-
左右树是否是搜索二叉树
有以上三个信息，就可以判断上述的四种可能性了。
class Solution {
public static class Info {
public Info(int max, int min, boolean isBST) {
this.max = max;
this.min = min;
this.isBST = isBST;
}
// 最大值
private int max;
// 最小值
private int min;
// 是否是搜索二叉树
private boolean isBST;
}
public static boolean isValidBST(TreeNode head) {
if (null == head) {
return true;
}
return p(head).isBST;
}
public static Info p(TreeNode head) {
if (head == null) {
return null;
}
Info left = p(head.left);
Info right = p(head.right);
if (left == null && right == null) {
return new Info(head.val, head.val, true);
}
if (left == null) {
// right != null
return new Info(Math.max(head.val, right.max), Math.min(head.val, right.min), right.isBST && head.val < right.min);
}
if (right == null) {
// left != null
return new Info(Math.max(head.val, left.max), Math.min(head.val, left.min), left.isBST && head.val > left.max);
}
return new Info(Math.max(head.val, Math.max(left.max, right.max)), Math.min(head.val, Math.min(left.min, right.min)), left.isBST && right.isBST && head.val < right.min && head.val > left.max);
}
}
更多地，本题的最优解是 Morris 遍历，可以在满足时间复杂度O(N)的情况下，空间复杂度达到O(1)。
关于 Morris 遍历的说明见:二叉树的先，中，后序遍历(递归，非递归，Morris方法)
完整代码如下
class Solution {
// Morris遍历，O(1)空间复杂度
public static boolean isValidBST(TreeNode root) {
if (root == null) {
return true;
}
boolean ans = true;
TreeNode pre = null;
TreeNode mostRight;
TreeNode cur = root;
while (cur != null) {
mostRight = cur.left;
if (mostRight != null) {
while (mostRight.right != null && mostRight.right != cur) {
mostRight = mostRight.right;
}
if (mostRight.right == null) {
mostRight.right = cur;
cur = cur.left;
continue;
} else {
if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
ans = false;
}
pre = cur;
mostRight.right = null;
}
} else {
if (pre != null && pre.val >= cur.val) {
ans = false;
}
pre = cur;
}
cur = cur.right;
}
return ans;
}
}
什么时候用二叉树的递归套路，什么时候用 Morris 遍历
如果你需要你的左树给你一些信息，右树给你一些信息，然后整合，这个时候就用二叉树的递归套路。
如果你用完左树信息后，可以不用再管左树的信息了，那么就可以用Morris遍历。