NOIP 2017 试题研究
D1T1 小凯的疑惑 (45 min)
看到题面，大概是推数学公式。
先打暴力表，观察 (a,b) 与 (n) 的关系。猜想 (a×b−a−b)。
引理：对于正整数 (p , q) 满足 (gcd(p, q) = 1), 使得 (px + qy = n) 无非负整数解的最大正整数 (n) 为 (pq - p - q).
使用反证法证明，即假设存在正整数 (x) 和 (y) 使得 (px + qy = pq - p - q)，证明矛盾。期望得分 100 分。
没办法一眼望穿？观察到答案更接进于 (a imes b)，考虑从 (a imes b) 到 1 递推。期望得分 70 分。
D1T2 时间复杂度 (1 h)
一眼望穿，模拟 + 字符串 + 栈结构。
然后死在模拟的过程中……期望得分 0 分。
绝对不能没把整个题目推完就开始写。先在草稿纸上把所有要注意的点写出来，列出清单。
在草稿纸上列出模拟的所有标记变量的含义和作用。在草稿纸上写出大致代码层结构，标出特判和标记变量作用的位置。（其实代码大致就出来了。）
上机实现。期望得分 100 分。
此类题目（模拟 + 字符串）严重考察细心和耐心。如果你的思路清晰，代码严谨工整，就不会过不去样例……
D1T3 逛公园 (45 min)
DP + 拓扑序 + 最短路 or 搜索 (记忆化)
观察题目。啥都看不出来？先打暴力。
容易发现，Day 1 还没有考 DP。注意到 (Kle 50)，猜测这是一个与 (k) 有关的 DP。
特殊情况 1：当 (K=0) 时，最短路计数！
最短路计数：
Dijkstra 堆优化 或 SPFA（死了）。
定义一个新变量数组
cnt，cnt[S]=1。更新边长的时候如果大于号就覆盖（cnt[to[i]]=cnt[x]），相等的话（即有相同最短路径）就相加（cnt[to[i]]+=cnt[x]）。无边权即边权为 1。注意模法。实现难度 [普及+/提高]。
期望得分 30 分。
特殊情况 2：然后考虑 没有 0 边 的情况。构造 DP 求解。写不出来……期望得分 30 分。
然后回过头检查 T1、T2 的代码。千万不要放空！放个 rand()%mod 也行啊……要爱惜分数。
D2T1 奶酪 (45 min)
观察到本题适合使用并查集。（NOIP 考点之一。）
距离要预处理。
实现难度 [普及/提高-]。期望得分 100 分。
D2T2 宝藏 (1 h 30 min)
状压 DP。思路难想！期望骗分 0 分。
写不出来状压 DP……显然要考虑部分分。DFS + 剪枝！暴搜算法的时间复杂度是 (O()玄学())。不要忘记低级算法的重要性，暴搜 AC 什么的大有人在。期望骗分 ?? 分。
贪心？如果想出来一个比较可行的局部最优解，带入 模拟退火算法 计算！期望骗分 0~100 分。（太玄了……）
D2T3 列队 (45 min)
标算是树状数组。想不到……想到了也不会写……
考虑部分分采用离散化思想。
对于 (x_i=1) 的情况，转化为：
对于一个序列，支持操作 (1) 删除第 (k) 个元素；(2) 在末尾添加一个元素。
尝试用树状数组实现。
维护一个 01 序列，第 (i) 位上是 0 表示这个位置上的数已经被删除了或者还没有被插入，第 (i) 位上是 1 表示这一位上的数没有被删除。
那么删除操作就是 1 → 0，插入操作就是 0 → 1。第 (k) 个元素就是前缀和为 (k) 的位置。树状数组二分。
其他就完全不会了。期望得分 30 分。（模拟得分）
总结
乐观估计为 360+?? 分。可见去年的难度还是很高的。如果暴搜写得给力能拿 400 分，如果字符串模拟炸了，那就省一无望了。（毕竟去年 FJ 省一线 300 分。复旦自招线 360 分……）
如何发挥超常正常？首先该拿的分数坚决不能丢掉。字符串模拟、暴搜剪枝，还有最短路和并查集的板子，一定要写出来。DP 能推的尽量推，部分分能骗的尽量骗……
明明所有考点都是 NOIP 范围内的，明明我也会 DAG 上 DP、状压 DP、树状数组……可见还是学艺不精，有待提高。
括号中标记的是完成核心代码的理论时间。实际上，一旦陷入 bug 的泥潭就很难出去了……
祝 NOIP 2018 RP ( ightarrowinfty)！
NOIP2016 试题研究
D1T1 玩具谜题 (30 min)
超级水的 模拟。期望得分 100 分。送分题分数绝对不能丢！……
D1T2 天天爱跑步 (1 h)
部分分骗一骗。直接暴力拿 25 分，其余点特判骗分。
正解 LCA + 桶 + 差分。不会写……基本的 LCA 要复习一下。
D1T3 换教室 (1 h 30 min)
DP。(dp(i,j,0/1)) 表示走完前 (i) 个教室, 换了 (j) 次，对于第 (j) 次选择换 ((0)) 与不换 ((1)) 的最优方案。然后就是推公式的过程。绝对可以推很久。期望得分 0~100 分。（想太多）
D2T1 组合数问题 (45 min)
给定 (n,m) 和 (k)，对于所有的 (0leq ileq n,0leq jleq minleft(i, m ight)) 有多少对 ((i,j)) 满足 (C_i^j) 是 (k) 的倍数。对于 100% 的数据，(n,mle 2000, kle 21), 数据组数 (Tle 10^4)。
先打表 (C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^m) （杨辉三角），特别地，(C_n^0=C_n^n=1). 发现速度捉急，怎么办？
二维前缀和 (sum(n,m)=sum(n-1,m)+sum(n,m-1)-sum(n-1,m-1)).
然后 DP 统计答案。期望得分 100 分。
D2T2 蚯蚓 (1 h)
蛐蛐国里现在共有 (n) 只蚯蚓（(n) 为正整数）。每只蚯蚓拥有长度，我们设第 (i) 只蚯蚓的长度为 (a_i) ((i=1,2,dots,n))，并保证所有的长度都是非负整数（即：可能存在长度为 (0) 的蚯蚓）。
每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数 (p)（是满足 (0 < p < 1) 的有理数）决定，设这只蚯蚓长度为 (x)，神刀手会将其切成两只长度分别为 (lfloor px floor) 和 (x - lfloor px floor) 的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于 (0)，则这个长度为 (0) 的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加 (q)（是一个非负整常数）。
蛐蛐国王希望知道 (m) 秒内的战况。具体来说，他希望知道：
- (m) 秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有 (m) 个数）；
- (m) 秒后，所有蚯蚓的长度（有 (n + m) 个数）。
第一行输出 (displaystyleleftlfloor frac{m}{t} ight floor) 个整数，按时间顺序，依次输出第 (t) 秒，第 (2t) 秒，第 (3t) 秒，…… 被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。
第二行输出 (displaystyleleftlfloor frac{n+m}{t} ight floor)个整数，输出 (m) 秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第 (t)，第 (2t)，第 (3t)，…… 的长度。
(1 leq n leq 10^5)，(0 leq m leq 7 imes 10^6)，(0 < u < v leq 10^9)，(0 leq q leq 200)，(1 leq t leq 71)，(0 leq a_i leq 10^8)。
直接用堆（或 STL 优先队列）记录每次切的蚯蚓。期望得分 80 分。
如果观察到本题隐含的单调性，即先被切掉的蚯蚓分成的蚯蚓一定比后切掉的蚯蚓分成的蚯蚓大，则根本不需要堆来维护：由一个堆变成三个队列。（详见 Link 
）
思维量相当大，100 分看来是难了……
D2T3 愤怒的小鸟 (1 h)
本题 (1le n≤18)：暴搜 or 状压 DP。
暴搜骗大量部分分！
状压 DP：(f(imid line(j,k))=min{f(imid line(j,k)),f(i)+1}). 真的想出来就可以 100 分了。
总结
NOIP 2016 看上去真的挺难！考试内容都是比较高级的算法，又有较高的思维难度。如果 NOIP 2018 也这样考，千万不能灰心啊……注意到题目都给出了极好看的部分分，至少把部分分拿走，再绞尽脑汁想正解。