动态规划--01背包

01背包问题

题目https://www.acwing.com/problem/content/2/

给定n个物品和一个背包，容量为m，每个物品有体积v和价值w两种属性

选择物品装入背包，使得在不超过背包容量的情况下，价值最大。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1010;
int v[N],w[N];
int n,m;
int f[N][N];
int main(void){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    cin>>v[i]>>w[i];
    }
    //初始化f[0][x]都是0，所以不需要初始化了
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i]){
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<<f[n][m]<<endl;
    return 0;
}

发现第i层只用到了第i-1层的数据，所以我们可以用滚动数组来做。

//+2保证不会有负数
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=0;j<=m;j++){
        f[i%2][j]=f[(i-1+2)%2][j];
        if(j>=v[i])
            f[i%2][j]=max(f[i%2][j],f[(i-1+2)%2][j-v[i]]+w[i]);
        }
}

另一方面，我们发现 f [ i ] [ j ]只会用到第i-1层比 j 更小的列

所以我们每次从后往前枚举体积的话，效果和滚动数组是同一个效果，同时将空间优化到了一维

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=0;j--){
    if(j>=v[i])
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}
//同时，可以把if去掉
for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=v[i];j--){
        f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
    }
}