一个连通无向图G=(V, E)，每条边(u, v) ∈ E，都有权重w(u, v)，希望找到一个无环子集T 
一：最小生成树的形成
本章所讨论的两种算法都采用贪心策略，这个贪心策略由下面的通用算法描述：
GENERIC-MST(G, w)
A =∅
while A does not form a spanningtree
find an edge (u, v) that issafe for A
A = A {(u, v)}
return A
该通用算法遵循循环不变式：在每次循环之前，A是某颗最小生成树的一个子集。我们要做的主要事情就是选择一条边(u, v)，将其加入到集合A中，使得A不违反循环不变式，也就是A∪ {(u,v)}也是某颗最小生成树的子集。称这样的边(u, v)为集合A的安全边。
算法的关键就在于如何找到安全边，下面介绍找安全边的规则：
无向图G=(V, E)的一个切割(S, V-S)是集合V的一个划分，如下图所示，如果一条边(u, v)∈ E的一个端点位于集合S，另一个端点位于集合V-S，则称该条边横跨切割(S, V-S)。如果集合A中不存在横跨该切割的边，称该切割尊重集合A。在横跨一个切割的所有边中，权重最小的边称为轻量级边。
定理：设G=(V, E)是一个在边E上定义了权重函数w的连通无向图，设集合A为E的一个子集，且A包括在G的某颗最小生成树中，设(S, V-S)是图G中尊重集合A的任意一个切割，又设(u, v)是横跨切割(S, V-S)的一条轻量级边。那么边(u, v)对于集合A是安全的。
在算法执行过程中的任何一个时刻。图GA=(V，A)是一个森林，GA中的每一个连通分量都是一棵树(某些树可能只包含一个顶点，例如在算法开始时，A为空集，森林中包含|V|棵树，每个顶点对应于一棵树)。
推论：设G=(V, E)是一个在边E上定义了权重函数w的连通无向图，设集合A为E的一个子集，且A包括在G的某颗最小生成树中，设C=(Vc, Ec)为森林GA = (V, A)中的一个连通分量。如果边(u, v)是连接C和GA中某个其他分量的一条轻量级边，那么边(u, v)对于集合A是安全的。
二：Kruskal算法和Prim算法
1：Kruskal算法
Kruskal算法找到安全边的办法是：在所有连接森林中两颗不同树的边中，找到权重最小的的边(u ,v)。设C1和C2为边(u, v)所连接的两棵树。由于边(u, v)一定是连接C1和其他某棵树的一条轻量级边，根据推论，边(u, v)是C1的一条安全边。
Kruskal算法使用一个不相交集合数据结构来维护几个互不相交的元素集合，每个集合代表森林中的一棵树：
MST-KRUSKAL(G, w)
A = ∅
for each vertex v
MAKE-SET(v)
sort the edges of G.E into nondecreasing order by weight w
for each edge (u, v) 属于 G.E, taken in nondecreasing order by weight
if FIND-SET(u) != FIND-SET(v)
A = A {(u, v)}
UNION(u, v)
return A
循环中，需要检查端点u和端点v是否属于同一棵树。如果是，该条边不能加入到森林里，否则将会形成回路，如果不是，则两个端点分别属于不同的树。
对于图G=(V, E)，Kruskal算法的运行时间依赖于不相交集合数据结构的实现方式，时间复杂度为O(ElgV)。下图为算法运行方式：
2：Prim算法
Prim算法中，集合A中的边始终构成一棵树，这棵树从任意一个根节点开始，一直长大到覆盖V中所有节点为止。算法每一步在连接集合A和A之外的节点的所有边中，选择一条轻量级边加入到A中：
MST-PRIM(G, w, r)
for each u ∈ G.V
u.key = ∞
u.π = NIL
r.key = 0
Q = G.V
while Q != ∅
u = EXTRACT-MIN(Q)
for each v ∈ G.Adj[u]
if v ∈Q and w(u, v) < v.key
v.π = u
v.key = w(u, v)
算法第7行将找出节点u ，该节点是某条横跨切割(V-Q, Q)的轻量级边的一个端点，然后将u从队列Q中删除，并将其加入到集合V-Q中，也就是将边(u, u.π)加入到集合A中。在for循环中，将每个与u邻接但却不在树中的节点v的key和π 属性进行更新。
Prim算法的运行时间取决于最小优先队列Q的实现方式，如果Q采用普通的最小堆实现，则时间为O(E lg V)，如果采用斐波那契堆，来实现最小队列Q，则时间将改进到O(E + V lg V)，下面为算法运行过程：
