算法导论笔记：31数论算法

       因为我们将处理一些大整数，所以需要调整一下如何看待输人规模和基本算术运算的代价的看法。

       在本章中，一个“大的输入”意味着输入包含“大的整数”，而不是输人中包含“许多整数”。因此，我们将根据输入数的位数来衡最输人的规模，而不是仅根据输人中包含的整数的个数。在本章中，我们在分析算法时一般既考虑算术运算的次数，也考虑它们所要求的位操作的次数。

 

一：初等数论概念

       一个整数能被另一个整数整除的概念是数论中的一个中心概念。记号d|a，读作“d整除a”，意味着对某个整数k，有a=kd。比如3整除6，则6=2*3（3是除数，6是被除数）。0可被任何整数整除。

       如果a>0且d|a，则|d|<=|a|。

       如果d|a并且d>=0，则d是a的约数，a是d的倍数。d|a当且仅当(-d)|a，因此一般定义约数为非负整数。一个整数a的约数最小为1，最大为|a|。每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除，a的非平凡约数也成为a的因子，比如20的因子有2,4,5和10.

 

       对于某个整数a>1，如果它仅有平凡约数1和a，则称a为素数（质数）。如果a>1且a不是素数，则a为合数。1不是素数，也不是合数，同样，0和所有非负数既不是素数，也不是合数。

 

       已知一个整数n，所有整数都可以根据它们除以n所得的余数来进行分类，数论的大部分理论都是基于上述划分的。

       对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0<=r<n，并且a=qn+r。q为商，r=a mod n称为余数。n|a当且仅当a mod n = 0.

       根据整数模n所得的余数，可以把整数分成n个等价类。记为， = {a+kn:k ∈ Z}，是一个集合，其中包含了模n的余数为a的所有整数。比如： = {..., -11,-4, 3, 10, 17, ...}。

 

       如果d是a的约数，且d也是b的约数，则d是a和b的公约数。1是任意两个整数的公约数，公约数有一条重要性质：d|a并且d|b，则d|(a+b),d|(a-b)。或者更一般的，对于任意整数x和y，有d|a并且d|b，则d|(ax+by)。

       a|b且b|a，则a=b或者a=-b。

       a和b的最大公约数表示为gcd(a,b).比如gcd(24, 30) = 6.

       gcd(a, b)是一个在1和min(|a|, |b|)之间的整数。定义gcd(0, 0) = 0，gcd有下列性质：

      

       如果a和b是不都为0的任意整数，则gcd(a, b)是a与b的线性组合集合{ax+by: x,y ∈ Z }中的最小正元素。(证明见附注)

       对于任意整数a和b，如果d|a，d|b，则d|gcd(a, b)。

       对所有整数a和b，以及任意非负整数n，gcd(an, bn) = n gcd(a, b)。

       对于所有正整数n, a和b，如果n|ab并且gcd(a, n) = 1，则n|b。

       如果gcd(a, b) = 1，则a与b成为互质数。

       对于任意整数a，b和p，如果gcd(a, p) = 1，且gcd(b, p)=1，则gcd(ab, p) = 1.

       对所有素数p和所有整数a，b，如果p|ab, 则p|a或p|b(或两者都成立)。

       合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：，其中为素数，且 < < ... < . 为正整数。

 

二：最大公约数

       欧几里得算法是高效计算两个整数的最大公约数的算法，我们仅对非负整数进行讨论，因为gcd(a, b) = gcd(|a|, |b|)。

       欧几里得算法的正确性由下面的性质得出：对于任意非负整数a和任意正整数b，gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

       证明：要证明gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)，可以证明gcd(a, b)| gcd(b, a mod b)，以及gcd(b, a mod b)| gcd(a, b)。

       假设gcd(a, b) = d，所以d|a, d|b，因a mod b = a – qb，所以d|a mod b，所以d|gcd(b, a mod b)。因而的证gcd(a, b)| gcd(b, a mod b)。反之即可的证gcd(b, a mod b)| gcd(a, b)，所以gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)。

       算法描述如下：

       EUCLID(a, b)

              if b==0

                     return a

              else return EUCLID(b, a mod b)

       比如：EUCLID(30，21) = EUCLID(21，9) = EUCLID(9，3) = EUCLID(3，0) =3。一般情况下要求a>b，即使a <ｂ，则EUCLID(a,b) = EUCLID(b, a mod b) =EUCLID(b, a)。

       EUCLID执行中递归调用的次数为O(lg b)。

       根据EUCLID算法，还可以得到其他类似的算法，比如求满足下列条件的系数x和y：d = gcd(a, b) = ax+by，可以有下列算法：

       EXTENDED-EUCLID(a, b)

              if b == 0

                     return (a, 1, 0)

              else

                     (d’, x’, y’) = EXTENDED-EUCLID(b, a mod b)

                     (d, x, y) = (d’, y’, x’-(a/b)y’)

              return (d, x, y)

 

三：素数判断

       解决素数测试问题的一种简便方法是试除。试着用每个整数2,3，...,分别取整数n（大于2的整数可以跳过）。n是素数当且仅当没有一个试除整数能整除n。

       比如对于数M，如果它存在两个因数，乘积等于M，这两个因数一定一个小于根号M，一个大于根号M。

       因为M =  *。如果两个数都在根号M以下，乘起来小于M，如果两个数都在根号M以上，乘起来一定大于M，所以两个数分布于根号M两边，那么我们只要找到其中一半有没有这样一个整数就可以了。如果有，自然对应的另一半也有一个和它对应的数，使它们的乘积为M。综上，对于以上的遍历求法，只需遍历到根号M即可。

附注：

证明：如果a和b是不都为0的任意整数，则gcd(a, b)是a与b的线性组合集合{ax+by: x,y Z }中的最小正元素。

 

       该问题的证明属于贝祖定理的一部分：

http://zh.wikipedia.org/zh/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F，证明如下：

       集合A={ax+by: x,y∈ Z }，假设为其中的最小正元素： = a + b，设ax+by为集合A中的任意元素，根据“对任意整数a和任意正整数n，存在唯一的整数q和r，满足0<=r<n，并且a=qn+r”，所以，存在唯一的整数q和r，满足ax+by = q + r，其中0<=r<。

       也就是：ax+by = q(a + b) + r，所以r=a(x-q) + b(y-q)，所以r也属于集合A，又因为0<=r<，且为集合A中最小正元素，所以r=0。所以，|ax+by。特别的：|a；|b。所以，是a和b的公约数。

       假设d=gcd(a,b)为a和b的最大公约数，因为 = a + b，所以d|。

       因此， 是a和b的最大公约数，得证。