AGC041D Problem Scores(DP)

这场比赛由 tourist出题。%。比赛链接： agc041

题意

给一个长度为(n)的序列赋整数值，赋值的值域范围([1,n])。要求赋值后的序列非递减，且对于(1le kle {n-1})，从序列中任取(k+1)个数要比任取(k)个数的和大。问有多少种赋值方式？

题解

一共有(n-1)个限制条件，但是通过观察可以发现，只要满足(k=n/2)时的条件，其他条件自动满足。

要求序列满足非递减，因此考虑使用如下方式表示序列中的数字：

(A_i = 1+x_1+x_2+...+x_i)，(xge0)

根据题意转换(x)要满足以下条件：

• (x_1+x_2+x_3+...+x_n le n-1)，值域限制
• (x_1 ge [x_2,x_3,...,x_n]·[0,1,2,...,2,1])，‘·’表示点乘，由满足(k=n/2)时条件带入推出。

此时若固定(x_2,x_3,...,x_n)的值，可以得出(x_1)有(max(n-[x_2,x_3,...,x_n]·[1,2,3,...,3,2]))

因此问题变成枚举每种点乘和有多少个。可以用(DP)解决。

(dp[i])表示和为(i)的有多少种。

初始状态(dp[0]=1)

转移的时候有个技巧，由于增加的数字是某个数的倍数，设倍数是(w)，朴素的转移需要对([0,w,w*1,w*2,w*3...])都做一遍转移，且(dp)要两维，但可以用如下方式简单转移：

for(int j=w;j<n;++j)
    dp[j]+=d[j-w];

不能理解的，用具体数字写一个转移就可以体会其中的巧妙。