HDU----(4549)M斐波那契数列(小费马引理+快速矩阵幂)

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

01 0

6 10 2

 

Sample Output

0 60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

F[n] = F[n-1] * F[n-2] ---》 F[n] = F[n-2]^2* F[n-3]^1----》F[n] = F[n-3]^3* F[n-4]^2----》

 F[n] = F[n-4]^5* F[n-5]^3  -----......--->F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];    //我们可以的到处a[n]为一个斐波那契数列

但是对于这样一个式子：

      F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];  我们依旧还是不好处理哇，毕竟n<1e9这么大，这样我们不妨引用小费马引理处理....

    首先我们应该知道小费马引理的定义： 

                           形如：  (a^b)mod c = a^(b mod (c-1) ) mod c;

    这样，我们就可以找到这样一个方法来做这道题：

                  F[n] = F[2]^a[n-1]* F[1]^a[n-2];   可以写成  F[n] = (F[2]^(a[n-1]%(mod-1))* F[1]^(a[n-2]%(mod-1)))%mod;

     可以明确的是，F[2],F[1]我们事先已经知道，所以问题在于求解a[n-1],a[n-2]由于数据巨大，为了提升效率我们可以使用矩阵快速幂来求解

     对于  a[n]=a[n-1]+a[n-2]  a[0]=a[1]=1;  这样的斐波那契数列，我们应该不难构造出它的矩阵来

      |a[n]   |   =|1,1|^(n-2)  |a[n-1]|

      |a[n-1]|     |1,0|*          |a[n-2]|

得到了 a[n],a[n-1]之后我们在使用一个快速幂求解 a^b 即可。

代码：

//#define LOCAL
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define LL __int64
using namespace std;
const int mod =1000000007;

LL mat[2][2];
LL ans[2][2];
LL n,aa,bb;

void Matrix(LL a[][2],LL b[][2])
{
    LL cc[2][2]={0};
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
      for(int j=0;j<2;j++)
      {
          for(int k=0;k<2;k++)
        {
            cc[i][j]=(cc[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%(mod-1);
        }
      }
    }
    for(int i=0;i<2;i++)
    {
      for(int j=0;j<2;j++)
      {
        a[i][j]=cc[i][j];
      }
    }
}

void pow(LL w)
{
  mat[1][1]=mat[0][1]=mat[1][0]=1;
  mat[0][0]=0;

  while(w>0)
  {
    if(w&1) Matrix(ans,mat);
     w>>=1;
     if(w==0)break;
     Matrix(mat,mat);
  }
}
LL pow_int(LL a,LL b)
{
    LL ans=1;
    while(b>0)
    {
     if(b&1){
         ans*=a;
         ans%=mod;
     }
      b>>=1;
      if(b==0)break;
      a*=a;
      a%=mod;
    }
   return ans;
}
void input(LL w)
{
     ans[0][0]=ans[1][1]=1;
     ans[0][1]=ans[1][0]=0;
     pow(w-2);
     LL fn_2=(ans[0][0]+ans[0][1])%(mod-1);
     pow(1);
     LL fn_1=(ans[0][0]+ans[0][1])%(mod-1);
     printf("%I64d
",(pow_int(aa,fn_2)*pow_int(bb,fn_1))%mod);
}

int main()
{
  #ifdef LOCAL
   freopen("test.in","r",stdin);
  #endif
  while(scanf("%I64d%I64d%I64d",&aa,&bb,&n)!=EOF)
     if(n==0)printf("%I64d
",aa);
     else if(n==1)printf("%I64d
",bb);
     else
        input(n);
 return 0;
}