二分与三分

其实二分，三分与分治的思想差不多，都是对一个问题的分段操作（前提为有序）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——QwQ

二分

二分法,在一个单调有序的集合或函数中查找一个解,每次分为左右两部分,判断解在哪个部分中并调整上下界,直到找到目标元素,每次二分后都将舍弃一半的查找空间,因此效率很高。

例如,对于在实数区间[L,R]内递增的连续函数f(x),求[L,R]内f(x)的零点J。J称为(x)在[L,R]内的零点,当且仅当满足:

　　任意L≤x<J,f(x)<0

　　任意J<x≤R,f(x)>0

　　　　f(J)=0

二分法的思想是不断将待求解区间平均分成两份,根据求解区间中点的情况来确定目标元素所在的区间,这样就把解的范围缩小了一半

设当前求解区间为 [ l , r ] , 它的中点为mid =( l+r )/2则有

若f(m)<0,则J∈[m,r];

若f(m)>0,则J∈[l,m];

若f(m)=0,则J=m

那么,二分算法的复杂度为O(二分次数×单次判定复杂度)

1.整数定义域上的二分

int Erfen(int l,int r)
{
    int l=1,r=n,ans;
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)/2;
        //int mid=l+(r-l)/2;
        if(check(mid))  
        {
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    return ans;
}

2.实数定义域上的二分

int Erfen(double l,double r)
{
    double eps=0.001; 
    while(fabs(r-l)>eps)
    {
        double mid=(l+r)/2.0;
        if(check(mid))    r=mid;
        else l=mid;
    }
    return l;
}

常见的类型

1.二分答案
       最小值最大(或是最大值最小)问题,这类双最值问题常常选用二分法求解,也就是确定答案后,配合贪心、DP等其他算法检验这个答案是否合理,将最优化问题转换为判定性问题。例如,将长度为n的序列a分成最多m个连续段,求所有分法中每段和的最大值的最小是多少

2.二分查找
      用具有单调性的布尔表达式求解分界点,比如在有序数列中求数字x的排名

3.代替三分
       有时,对于一些单峰函数,我们可以用二分导函数的方法求解函数极值,这时通常将函数的定义域定义为整数域求解比较方便,此时dx可以直接取整数1

三分法适用于求解凸性函数的极值问题,二次函数就是一个典型的单峰函数。

三分法与二分法一样,它会不断缩小答案所在的求解区间。二分法缩小区间利用的原理是函数的单调性,而三分法利用的则是函数的单峰性

设当前求解的区间为 [l,r] ,令 m=1+(l+r)/3 , m=r-(l+r)/3 , 接着我们计算这两个点的函数值f(m1),f(m2)之后我们将两点中函数值更优的那个点称为好点，函数值较差的那个点称为坏点。我们可以不停缩小求解区间,直至得出近似解

与二分一样,我们可以指定三分的次数,或是根据 r-1的值来终止

double l=0,r=1e9;
while(r-l>=1e-3)
{
    double m1=l+(r-l)/3;
    double m2=r-(r-l)/3;
    if(f(m1)<f(m2)) l=m1;
    else r=m2;
}

这里再放几个题看看

1433：【例题1】愤怒的牛

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+3;
int n,m,x[N];
inline bool check(int d){
    //以d为答案，看是否正确 
    int cow=1;
    int rgt=x[1]+d;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(x[i]<rgt) continue;
        //不符合跳过 
        ++cow;
        rgt=x[i]+d;
        //符合计数并更新rgt 
    }
    return cow>=m;
    //cow>=m是成立 
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i];
    sort(x+1,x+1+n);
    //二分查找 
    int l=0,r=x[n]-x[1];
    while(l<=r)
    {
        int mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<r;
    return 0;
}    

1434：【例题2】Best Cow Fences

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
double a[100001],b[100001],sum[100001];
int main(){
    int N,L;
    cin>>N>>L;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        cin>>a[i];
    }
    double eps=1e-5;
    double l=-1e-6,r=1e6;
    while(r-l>eps){//二分答案 
        double mid=(l+r)/2;
        for(int i=1;i<=N;i++) b[i]=a[i]-mid;
        for(int i=1;i<=N;i++) sum[i]=(sum[i-1]+b[i]);
        double ans=-1e10;
        double minn=1e10;
        for(int i=L;i<=N;i++){
            minn=min(minn,sum[i-L]);
            ans=max(ans,sum[i]-minn);
            //前缀和相减 
        }
        if(ans>=0) l=mid; 
        else r=mid;
    }
    cout<<int(r*1000)<<endl;
    return 0;
}

1435：【例题3】曲线

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iomanip>
using namespace std;
int T,test,n;
double a[10005],b[10005],c[10005];
double x,maxx=0,L,r,Lmid,rmid;
double cal(double x){
    int i,j;
    double maxx=-0x7fffffff;
    for(i=1;i<=n;i++) maxx=max(maxx,a[i]*x*x+b[i]*x+c[i]);
    return maxx;
} 
int main(){
    int i,j;
    cin>>T;
    for(test=1;test<=T;test++){
        cin>>n;
        for(i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];
        L=0;r=1000;
        while(L+1e-11<r){
            Lmid=L+(r-L)/3;
            rmid=r-(r-L)/3;
            if(cal(Lmid)<=cal(rmid)) r=rmid;
            else L=Lmid;
        }
        printf("%.4lf
",cal(L));
    }
    return 0;
}