动态规划系列之四梅花桩问题

题目

Redraiment是走梅花桩的高手。Redraiment总是起点不限，从前到后，往高的桩子走，但走的步数最多，不知道为什么？你能替Redraiment研究他最多走的步数吗？
例如梅花桩的高度：

2 5 1 5 4 5

结果分析：
6个点的高度各为 2 5 1 5 4 5
如从第1格开始走,最多为3步, 2 4 5
从第2格开始走,最多只有1步,5
而从第3格开始走最多有3步,1 4 5
从第5格开始走最多有2步,4 5

所以这个结果是3

梅花桩问题是最长升序数组问题。

动态规划解题思路

使用动态规划解题，需要题目符合动态规划的解决思路。动态规划解题思路是：

1. 将大的问题拆解成小一点问题，小问题和大问题的解决思路是类似的
2. 小问题之间的关系能完成大问题的最优解

通常拆解问题的方法有两种，一种是二分法，把数组拆成两个。第二种是将将数组逐个递减，拆解成多个小数组。对于本体来说，第二种方式比较适合。

小规模问题和大规模问题之间有某种联系，这种联系就是动态转移方程。通过小规模问题的解决，能够解决大规模问题，直到解决最终的问题。
题目是要求数组 [2,5,1,5,4,5]中最长的升序数组。可以按照动态规划的思路，将大问题拆解成小问题。求6个元素的最长升序，可以拆解成求5个，同理求5个元素的，可以拆解成求4个。最后一直到1个。

[2,5,1,5,4,5]
[2,5,1,5,4]
[2,5,1,5]
[2,5,1]
[2,5]  
[2]  

各个小问题之间有一定联系，通过找到小问题之间的联系，求出最优解。小问题之间的联系就是状态转移方程。

建立数学模型

求最多的步数，但不知道是从哪一步开始算最多。所以就创建一个数组dp，数组dp中存储从第一个梅花桩到当前梅花桩的步数。因为求的步数，最少也走一步，所以dp的初始值就是

dp = [1,1,1,1,...1]

状态转移方程

当前梅花桩最多的步数，就是拿当前梅花桩逐个和前面的梅花桩比较，当前梅花桩高就比较是比当前小的梅花桩的最大值+1大 还是 该梅花桩本身的值大。通俗来说就是找出梅花桩数值小的。即：

dp[j] + 1 大 还是 dp[i] 大

下标为0时，dp数组

2	5	1	5	4	5
1	1	1	1	1	1

下标为1时，dp数组。
因为 5 比 2大，所有，dp[0] + 1 > dp[1],所以dp[1]=1+1=2

2	5	1	5	4	5
1	2	1	1	1	1

下标为2时，dp数组：
1 < 5, 1< 2，所以dp数组不变，dp[2] = 1

2	5	1	5	4	5
1	2	1	1	1	1

下标为3时，dp数组：
5 > 1,所以dp[3] = max(dp[2]+1,dp[3]) = max(2,1) = 2
同时，5 > 2 ,所以dp[3] = max(2,dp[0]+1) = max(2,2) = 2。
所以dp[3] = 2

2	5	1	5	4	5
1	2	1	2	1	1

下标为4时，dp数组：
4 > 1 ,dp[4] = max(dp[4],dp[2]+1) = max(1,2) = 2

2	5	1	5	4	5
1	2	1	2	2	1

下标为5时，dp数组：
5 > 4 ,dp[5] = max(dp[5],dp[4]+1) = max(1,3) = 3
5 > 1 ,dp[5] = max(3,1) = 3
5 > 2 ,dp[5] = max(3,1) = 3

2	5	1	5	4	5
1	2	1	2	2	3

边界值

边界值很清晰就是第一个梅花桩就一步，也就是dp[1,x,x,x,x,x]

代码实现

def GetResult(l):
    n=len(l) # 传入list的长度
    dp=[1]*n # dp[i]表示以第i个桩为结尾，最多走多少步，初始是1步
    
    for i in range(n):# i表示第几个桩
        for j in range(i):# j表示i前面的桩
            if l[i]>l[j]: #当第j个桩小于第i个桩的值时，第j个桩有dp[j]个上升的序列。
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)#这时比较dp[j]+1和dp[i]大。因为可能会存在比dp[j]更大的序列，所以要找出最大的。
    
    #dp代表下标为i时上升序列。max找出其中最大的即为所求
    return max(dp)
 
if __name__ == "__main__":

    l=[2,5,1,5,4,5]
    ans=GetResult(l)
    print(ans)

小结

梅花桩问题的的巧妙之处在于构建了一个dp数组，该数组中存储了到下标i最长升序个数。然后比较arr[i]和arr前面的所有元素的值，如果arr[i]大于前面的元素的值，那么也就是说arr[i]是升序的数组的下一个元素。但如果arr[i]大于很多个前面的元素的话，就要选择一个最大的值，所以循环比较i和之前的元素，取一个最大值。

数组类动态规划解法

最大和子数组和最长升序数组 这两个问题能代表着数组类动态规划的求解方式，两个问题的相似之处为：
a. 都将问题转化成以求解第i个元素为结尾的问题
b. 构建dp数组，填充以第i个元素为结尾的最优解
c. 都将大规模问题拆解成小规模问题
d. 小规模问题小到极限有一个边界值，最大和的边界为只有一个元素时就是自身，最长升序的边界为只有一个元素时升序值为1

这四个规律也是求解数组类动态规划问题的四个步骤

同时两个问题也有不同之处：
a. 最大和子数组，dp数组中代表着以i为结尾的数组的最大值，下一个值只和上一个值有关，保证连续性
b. 最长升序数组，dp数组中代表这以i为结尾的升序数组的个数。下一个值与前面所有的值都有关联，要拿到前面值中的最大值。因为其不需要保证连续性，所有需要遍历前面的dp。最大和子数组只需要比较前一个。