DTW 算法（转）

DTW为(Dynamic Time Warping,动态时间归准)的简称。应用很广，主要是在模板匹配中，比如说用在孤立词语音识别，计算机视觉中的行为识别，信息检索等中。可能大家学过这些类似的课程都看到过这个算法，公式也有几个，但是很抽象，当时看懂了但不久就会忘记，因为没有具体的实例来加深印象。

      这次主要是用语音识别课程老师上课的一个题目来理解DTW算法。

　　首先还是介绍下DTW的思想：假设现在有一个标准的参考模板R，是一个M维的向量，即R={R（1），R（2），……，R（m），……，R（M）}，每个分量可以是一个数或者是一个更小的向量。现在有一个才测试的模板T，是一个N维向量，即T={T（1），T（2），……，T（n），……，T（N）}同样每个分量可以是一个数或者是一个更小的向量，注意M不一定等于N，但是每个分量的维数应该相同。

     由于M不一定等于N，现在要计算R和T的相似度，就不能用以前的欧式距离等类似的度量方法了。那用什么方法呢？DTW就是为了解决这个问题而产生的。

首先我们应该知道R中的一个分量R（m）和T中的一个分量T（n）的维数是相同的，它们之间可以计算相似度（即距离）。在运用DTW前，我们要首先计算R的每一个分量和T中的每一个分量之间的距离，形成一个M*N的矩阵。（为了方便，行数用将标准模板的维数M，列数为待测模板的维数N）。

然后下面的步骤该怎么计算呢？用个例子来看看。

这个例子中假设标准模板R为字母ABCDEF(6个)，测试模板T为1234(4个)。R和T中各元素之间的距离已经给出。如下：

 

     既然是模板匹配，所以各分量的先后匹配顺序已经确定了，虽然不是一一对应的。现在题目的目的是要计算出测试模板T和标准模板R之间的距离。因为2个模板的长度不同，所以其对应匹配的关系有很多种，我们需要找出其中距离最短的那条匹配路径。现假设题目满足如下的约束：当从一个方格((i-1,j-1)或者(i-1,j)或者(i,j-1))中到下一个方格(i,j)，如果是横着或者竖着的话其距离为d(i,j)，如果是斜着对角线过来的则是2d(i,j).其约束条件如下图像所示：

 

     其中g(i,j)表示2个模板都从起始分量逐次匹配，已经到了M中的i分量和T中的j分量，并且匹配到此步是2个模板之间的距离。并且都是在前一次匹配的结果上加d(i,j)或者2d(i,j),然后取最小值。

     所以我们将所有的匹配步骤标注后如下：

     怎么得来的呢？比如说g(1,1)=4, 当然前提都假设是g(0,0)=0,就是说g(1,1)=g(0,0)+2d(1,1)=0+2*2=4.

     g(2,2)=9是一样的道理。首先如果从g(1,2)来算的话是g(2,2)=g(1,2)+d(2,2)=5+4=9,因为是竖着上去的。

     如果从g(2,1)来算的话是g(2,2)=g(2,1)+d(2,2)=7+4=11,因为是横着往右走的。

     如果从g(1,1)来算的话，g(2,2)=g(1,1)+2*d(2,2)=4+2*4=12.因为是斜着过去的。

     综上所述，取最小值为9. 所有g(2,2)=9.

     当然在这之前要计算出g(1,1),g(2,1),g(1,2).因此计算g(I,j)也是有一定顺序的。

其基本顺序可以体现在如下：

 

     计算了第一排，其中每一个红色的箭头表示最小值来源的那个方向。当计算了第二排后的结果如下：

 

     最后都算完了的结果如下：

     到此为止，我们已经得到了答案，即2个模板直接的距离为26. 我们还可以通过回溯找到最短距离的路径，通过箭头方向反推回去。如下所示：

     到这里，估计大家动手算一下就会明白了。其实很简单，通过例子的学习后再回去看那些枯燥的理论公式就发现很容易了。

function [Dist,D,k,w]=dtw(t,r)
%Dynamic Time Warping Algorithm
%Dist is unnormalized distance between t and r
%D is the accumulated distance matrix
%k is the normalizing factor
%w is the optimal path
%t is the vector you are testing against
%r is the vector you are testing
[rows,N]=size(t);
[rows,M]=size(r);
%for n=1:N
%    for m=1:M
%        d(n,m)=(t(n)-r(m))^2;
%    end
%end
d=(repmat(t(:),1,M)-repmat(r(:)',N,1)).^2; %this replaces the nested for loops from above Thanks Georg Schmitz 

D=zeros(size(d));
D(1,1)=d(1,1);

for n=2:N
    D(n,1)=d(n,1)+D(n-1,1);
end
for m=2:M
    D(1,m)=d(1,m)+D(1,m-1);
end
for n=2:N
    for m=2:M
        D(n,m)=d(n,m)+min([D(n-1,m),D(n-1,m-1),D(n,m-1)]);
    end
end

Dist=D(N,M);
n=N;
m=M;
k=1;
w=[];
w(1,:)=[N,M];
while ((n+m)~=2)
    if (n-1)==0
        m=m-1;
    elseif (m-1)==0
        n=n-1;
    else 
      [values,number]=min([D(n-1,m),D(n,m-1),D(n-1,m-1)]);
      switch number
      case 1
        n=n-1;
      case 2
        m=m-1;
      case 3
        n=n-1;
        m=m-1;
      end
  end
    k=k+1;
    w=cat(1,w,[n,m]);
end

转自：

http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2012/03/23/2413363.html

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/6516-dynamic-time-warping/content/dtw.m