今天在项目中看到了“点到线段最短距离”的函数：
float GetDistanceToLine(Vector2 point, Vector2 p0, Vector2 p1) { //2D Vector2 v = p1 - p0; Vector2 w = point - p0; float c1 = Vector2.Dot(w,v); if ( c1 <= 0 ) return w.Length(); float c2 = Vector2.Dot(v); if ( c2 <= c1 ) return Vector2.Distance(point,p1); Vector2 pb = Vector2.Lerp(p0,p1,c1 / c2); //垂直交点 return Vector2.Distance(point,pb); }
上边代码是2D，3D代码也一样，稍作修改即刻。其中点在线段两端，即没有垂直交点的情况看懂了（主要用到了点乘的夹角等）。反而在垂直情况下却没看明白(c1 / c2)。
因为数学基础不好（图形学就更甭说了）。平时只会调用API的我，决定要弄明白点乘的几何意义。
首先是查了查书，然后又请教了同事，同事研究了一回后说这是物理上的做功！
我们先看看书中的介绍：
书中说的几何意义只有两点：
1.向量的相似度
2.向量a在向量b上的投影（注意：投影向量a需要b的单位向量，稍作推导即可，[点乘符合交换率]）
再说一下点乘的定义： a•b = |a||b|cosθ
虽然说是定义，但我固执地认为这是推导出来的（事实上我错了），所以请教了同事：已知向量a,b,和其夹角θ.如何求cosθ？
他给了一个答案：cosθ = a•b / (|a||b|)
。。。三观崩裂了， a•b = |a||b|cosθ，然后再cosθ = a•b / (|a||b|)。。。 这是无法证明的死循环啊~~可能当时他的世界观被我带进坑去了，暂时没转出这个弯~
然后在请教了我哥（他数学比我好吧=m=），然后他说这是定义，无法推导 =。=
以我的脾气肯定不会放过他~然后问他cosθ怎么求，然后他跟我说自己看余弦定理。。。（我擦，这初中的知识啊！！！我都忘了！！当然还有正弦定理也忘了！！！）
然后他给我一个更简单但运算起来更复杂的方法：求a与x轴的夹角再减去b与x轴的夹角，就得到θ的角度。。。（好吧，还是好好回去补习余弦定理好了）
补习了余弦定理后再相应补了正弦定理，此时，已经是下班的节奏了。然后我决定推导成功后再回家！当然最后是失败了（那些过程略掉）
回家途中梳理了下思路，为什么我哥说这是定义，无法推导？后来发现这是一个简单的逻辑错误！！
图1中点乘运算法则：（先假设成定义1）
图2中的几何解释：a•b = |a||b|cosθ（假设成定义2）
其实我想要表达的意思是：定义1 和定义2 为何能划上等号！！？？
也就是：a1b1+a2b2+...anbn = |a||b|cosθ 这个简化过程是怎么推导出来的！
所以a1b1+a2b2+...anbn 是定义（a•b = |a||b|cosθ）的简化过程！
（在回家路上想到了推导方法，就是两边平方）
推导过程：
a•b=axbx+ayby
根据余弦定理： c2=a2+b2-2ab•cosθ → cosθ =(a2+b2-c2)/2ab
又因为：c = (a-b) -> c2 = (a-b)2 所以：cosθ2=(a2+b2-(a-b)2)2/4a2b2
=> (|a||b|cosθ)2 = a2b2•cosθ2 = (a2+b2-(a-b)2)2/4 = (a2+b2-(a2+b2-2a•b))2/4 = (a2+b2-a2-b2+2a•b)2/4 = (a•b)2
注意：(a•b)中的“•”，不能忽略，因为是向量相乘，这里可能会想到是一种“死循环”，其实我们直接换成坐标来计算就知道了：(假设是2D)
a•b=axbx+ayby 为何能→ (a•b)2=(axbx+ayby)2 ?
上文推导到：
a2b2•cosθ2
= (a2+b2-(a-b)2)2/4
= ((ax2+ay2)+(bx2+by2) - ((ax-bx)2+(ay-by)2))2/4 ｛注意c(ax-bx,ay-by)=>c2=(ax-bx)2+(ay-by)2｝
= ((ax2+ay2)+(bx2+by2) - ((ax2+bx2-2axbx)+(ay2+by2-2ayby)))2/4
= (ax2+ay2+bx2+by2 - (ax2+bx2-2axbx+ay2+by2-2ayby)2/4
= (ax2+ay2+bx2+by2 - (ax2+bx2-2axbx+ay2+by2-2ayby)2/4