• 具体数学-第5课（8种方法求和）

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    具体数学-第5课 - WeiYang Blog

    今天继续讲求和的方法。
    针对以下求和式，我们用8种方法来求解：
    {S_n} = sumlimits_{0 le k le n} { {k^2}}
    大家应该都已经背上了它的答案：
    {S_n} = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    方法0

    查表。
    这就不用说了，很多文献都有现成的解，拿来直接用就行了。
    再给大家推荐一个整数序列查询网站OEIS：The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences® (OEIS®)

    方法1

    猜答案，然后用数学归纳法证明。
    这个也不多说了，前提是你得猜得出来，这题的公式还是很难猜的。

    方法2

    扰动法。
    令
    T = sumlimits_{0 le k le n} { {k^3}}
    所以
    egin{array}{l}T + {(n + 1)^3}\ = sumlimits_{1 le k le n + 1} { {k^3}} \ = sumlimits_{1 le k le n + 1} { { {(k - 1)}^3}} + sumlimits_{1 le k le n + 1} {(3{k^2} - 3k + 1)} \ = sumlimits_{0 le k le n} { {k^3}} + sumlimits_{1 le k le n + 1} {[3{ {(k - 1)}^2} + 3k - 2]} \ = T + 3{S_n} + frac{ {3(n + 2)(n + 1)}}{2} - 2(n + 1)end{array}
    解出
    3{S_n} = {(n + 1)^3} - frac{ {3(n + 2)(n + 1)}}{2} + 2(n + 1) = n(n + frac{1}{2})(n + 1)
    最终得到
    {S_n} = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    可以看出，我们本来是要对 k^2 求和的，但是只要对 k^3 用扰动法求和即可，因为求和过程中 k^3 项会被抵消掉。

    方法3

    成套方法。
    定义如下递归式：
    egin{array}{l}{R_0} = alpha \{R_n} = {R_{n - 1}} + eta + gamma n + delta {n^2}end{array}
    由第2课可知，设解的形式为：
    {R_n} = A(n)alpha + B(n)eta + C(n)gamma + D(n)delta
    分别令 {R_n} = 1,n,{n^2} 可以解出
    A(n) = 1,B(n) = n,C(n) = frac{ {n(n + 1)}}{2}
    再另 {R_n} = {n^3} ，可以得到
    3D(n) = {n^3} + 3C(n) - B(n) = n(n + frac{1}{2})(n + 1)
    即
    D(n) = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    这时如果令
    alpha = eta = gamma = 0,delta = 1
    那么
    {R_n} = sumlimits_{0 le k le n} { {k^2}} = D(n) = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    方法4

    积分法
    求和式可以近似成积分 int_0^n { {x^2}dx} = {n^3}/3
    但是还少算了一部分误差，设为 E_n ，则有
    {E_n} = {S_n} - frac{1}{3}{n^3} = {S_{n - 1}} + {n^2} - frac{1}{3}{n^3} = {E_{n - 1}} + n - frac{1}{3}
    解得
    {E_n} = frac{ {3{n^2} + n}}{6}
    所以
    {S_n} = {E_n} + frac{1}{3}{n^3} = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    其实这种方法就是把最高次直接给算出来了，低次项可以直接求和的。

    方法5

    扩展成二重指标求和
    egin{array}{l}{S_n} = sumlimits_{1 le k le n} { {k^2}} = sumlimits_{1 le j le k le n} { {k^2}} \ = sumlimits_{1 le j le n} {sumlimits_{j le k le n} k } \ = sumlimits_{1 le j le n} {(frac{ {j + n}}{2})(n - j + 1)} \ = frac{1}{2}sumlimits_{1 le j le n} {(n(n + 1) + j - {j^2})} \ = frac{1}{2}{n^2}(n + 1) + frac{1}{4}n(n + 1) - frac{1}{2}{S_n}\ = frac{1}{2}n(n + frac{1}{2})(n + 1) - frac{1}{2}{S_n}end{array}
    所以
    {S_n} = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    方法6

    用有限微分求和
    微分的形式大家都知道，如下：
    Delta f(x) = f(x + 1) - f(x)
    那如果我们定义
    f(x) = {x^m}
    则有
    Delta f(x) = {(x + 1)^m} - {x^m}
    似乎并不能和导数形式统一起来，用起来也不方便，那么我们定义一个新的函数，叫做下降阶乘幂：
    f(x) = {x^{underline{m}}} = x(x - 1) ldots (x - m + 1)
    同理还可以定义上升阶乘幂。
    这个函数有一个很好的性质，那就是
    Delta ({x^{underline{m}}}) = m{x^{underline{ {m - 1}}}}
    令
    g(x) = Delta f(x)
    那么和积分类似，有
    sum olimits_a^b {g(x)delta x} = f(b) - f(a)
    所以
    sumlimits_{0 le k < n} { {k^{underline{m}}}} = left. {frac{ { {k^{ {underline{m + 1}}}}}}{ {m + 1}}} ight|_0^n = frac{ { {n^{ {underline{m + 1}}}}}}{ {m + 1}}

    因为有
    {k^2} = {k^{underline{2}}} + {k^{underline{1}}}
    所以
    sumlimits_{0 le k < n} { {k^2}} = frac{ { {n^{underline{3}}}}}{3} + frac{ { {n^{underline{2}}}}}{2} = frac{ {n(n - 1)(2n - 1)}}{6}
    同样可以得到
    {S_n} = frac{ {n(n + 1)(2n + 1)}}{6}

    下降阶乘幂还有很多好用的性质，下节课继续。

    方法7

    生成函数。
    以后章节会讲。
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