sg函数
sg函数入门题
sg函数定义， 设sg(x)为状态x的sg函数， sg(x)>0则代表x这个状态是必赢点， 若sg(x)=0则代表x这个状态是必败点
sg函数性质， sg(x)=mex{sg(y)} y为x可达的状态点
观察定义就可以知道， 一个点为必胜点当且仅当这个点存在一个可达的状态点都是必败点， 一个点为必败点， 当且仅当所有可达点都是必胜点
根据这个定义可以知道， 为什么sg(x)=0就是必败点（因为所有可达点都是必胜点）， 为什么sg(x)>0代表x这个状态是必胜点， 因为可达点的集合中有至少一个必败点
sg定理
更深入的， 有个sg定理， 他能解决组合游戏的并（比如nim游戏）
其表示为， 总状态的sg函数为各个互相独立的子状态的sg函数的异或和
举个例子， 取石子游戏， 一共有n堆石子， 这n堆石子是互相独立的， 那么全部石子的sg函数就是$sg(x_1) \ xor \ sg(x_2)\ ...\ xor \ sg(x_n)$
因为在这一题中， sg(x)=x， 所以最终nim游戏的结论就是$x_1\ xor\ x_2\ xor ...xor \ x_n$
本题题解
对于这道题， 对于一堆石子的$sg(x) = mex{sg(x-f[i])| f[i]\leq x}$
所以对于三堆石子， 只需要把状态异或起来就可以了， 而sg函数可以记忆化搜索求
还是比较好写的
学习链接
博弈论进阶之SG函数 - 自为风月马前卒 - 博客园 (cnblogs.com)
老刘の组合博弈课件