bzoj1856 [ SCOI2010 ] -- 卡特兰数

其实就是卡特兰数的定义。。。

将放置一个1视为(1,1)，放置一个0视为(1,-1)

则答案就是从(0,0)出发到(n+m,n-m)且不经过y=-1的方案数。

从(0,0)出发到(n+m,n-m)的总方案数是C(n+m,n)。

若一条路径经过y=-1，那么将其从(0,0)到y=-1的一段路径以y=-1作对称，就变成了一条从(0,-2)到(n+m,n-m)的路径。

设走了x步(1,1)，y步(1,-1)，则：x+y=n+m,x-y=n-m+2，解得x=n+1,y=m-1.

那么答案就是C(n+m,n)-C((n-1)+(m-1),n+1)=C(n+m,n)-C(n+m,n+1)

因为有取模，所以还需要求逆元。

递推公式：inv[i]=inv[p%i]*(p-p/i)%p，要将inv[0]和inv[1]初始化为1

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
#define M 20100403
#define ll long long
int i,j,k,n,m,x,y,inv[1000010];
inline int _Max(int x,int y){return x<y?y:x;}
inline ll C(int x,int y){
    ll Ans=x+1;
    for(int i=2;i<=y;i++)Ans=(Ans*(x+i)%M)*inv[i]%M;
    return Ans;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(inv[0]=inv[1]=1,i=2;i<=m;i++)inv[i]=1ll*inv[M%i]*(M-M/i)%M;
    printf("%lld",(C(n,m)-C(n+1,m-1)+M)%M);
    return 0;
}