牛顿迭代法(Newton's Method)

牛顿迭代法(Newton's Method)

简介

牛顿迭代法（简称牛顿法）由英国著名的数学家牛顿爵士最早提出。牛顿法的作用是使用迭代的方法来求解函数方程的根。简单地说，牛顿法就是不断求取切线的过程。
对于形如f(x)=0的方程，首先任意估算一个解x0，再把该估计值代入原方程中。由于一般不会正好选择到正确的解，所以有f(x)=a。这时计算函数在x0处的斜率，和这条斜率与x轴的交点x1。
f(x)=0中精确解的意义是，当取得解的时候，函数值为零（即f(x)的精确解是函数的零点）。因此，x1比x0更加接近精确的解。只要不断以此方法更新x，就可以取得无限接近的精确的解。
但是，有可能会遇到牛顿迭代法无法收敛的情况。比如函数有多个零点，或者函数不连续的时候。

牛顿法举例

下面介绍使用牛顿迭代法求方根的例子。牛顿迭代法是已知的实现求方根最快的方法之一,只需要迭代几次后就能得到相当精确的结果。
首先设x的m次方根为a。

下面程序使用牛顿法求解平方根。

 

const float EPS = 0.00001; 
int sqrt(double x) { 
    if(x == 0) return 0; 
    double result = x; /*Use double to avoid possible overflow*/ 
    double lastValue; 
    do{ 
        lastValue = result; 
        result = result / 2.0f + x / 2.0f / result; 
    }while(abs(result - lastValue) > EPS);
 return (double)result;
 }