Codeforces Round #740 D2. Up the Strip

题意：有n阶楼梯，假设当前你处于第x阶，那么走到第[1,x-1]阶或第(lfloor dfrac{x}{k} floor(2le k le x))​​​阶，问从n阶到1阶的方案数

即求递归式

[ m f(x)=sumlimits_{i=1}^{x-1}f(i)+sum_{i=2}^{x}f(lfloor dfrac{x}{i} floor) ]

注意到前面(sum_{i=1}^{x-1}f(i))可以用前缀和O(1)计算，问题就是快速计算后面的式子

首先想到了整除分块，就完成了一个( m O(nsqrt n))的算法，可以通过Easy Version的数据

考虑如何更快地完成这个操作，正难则反，考虑每个f(x)往后的贡献

对于一个f(x),它能贡献到的位置v，满足存在一个k，使得

[lfloor dfrac{v}{k} floor=x ]

化简就是

[kxle v < k(x+1) ]

就是说，枚举一个k，x能贡献到的是一个连续区间[kx,k(x+1))

这样的枚举是倍数型的，用差分+前缀和完成区间加（因为只会往后加）

复杂度有一个调和级数，为( m O(nlog n))

/*
 * Author	: GhostCai
 * Expecto Patronum
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;

void debug_out() { cerr << endl; }
template <typename Head, typename... Tail>
void debug_out(Head H, Tail... T){cerr << " " << H;debug_out(T...);}
void shit(){puts("NO");}
void good(){puts("YES");}
#define debug(...) 
    cerr << __LINE__ << " [" << #__VA_ARGS__ << "]:", debug_out(__VA_ARGS__)
#define dump(x) cerr << __LINE__ << " " << #x << " = " << (x) << endl
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define read(a,n) for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=rd()
#define mem0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define rep(x,y,z) for(int x=y;x<=z;x++)
#define eep(i,x) for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
inline int rd(){
	int ret=0,f=1;char c;
	while(c=getchar(),!isdigit(c))f=c=='-'?-1:1;
	while(isdigit(c))ret=ret*10+c-'0',c=getchar();
	return ret*f;
}
#define pc putchar
#define space() pc(' ')
#define nextline() pc('
')
void pot(int x){if(!x)return;pot(x/10);pc('0'+x%10);}
void out(int x){if(!x)pc('0');if(x<0)pc('-'),x=-x;pot(x);}

const int MAXN = 5000006;

int n,MOD;

int f[MAXN],g[MAXN];

void solve(){
	n=rd();MOD=rd();
	f[1]=1;
	rep(i,1,n){
		(g[i]+=g[i-1])%=MOD;
		(f[i]+=g[i])%=MOD;
		(g[i+1]+=f[i])%=MOD;
		(g[n+1]-=f[i])%=MOD;
		for(int k=2;k*i<=n;k++){
			int l=k*i,r=min(n+1,k*i+k);
			g[l]=(g[l]+f[i])%MOD;
			g[r]=(g[r]-f[i])%MOD;
		}
	}	
	f[n]%=MOD;
	if(f[n]<0) f[n]+=MOD;
	cout<<f[n]<<endl;
}

signed main(){
	solve();
	return 0;
}