数学小知识

　　C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+...+C(n, n) = 2^n

　　C(n, 0)+C(n, 2)+C(n, 4)+...=C(n, 1)+C(n, 3)+...=1XC(n, 1)+2XC(n, 2)+...+nXC(n, n) = n*2^(n-2)

　　Lucas定理：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

　　分拆：

　　　　有序分拆：正整数n的有序k分拆的个数为：C(n-1, k-1)

　　　　无序分拆：

　　　　　　用B(n, k)来表示n的k分拆的个数，用B(n)表示n的所有分拆的个数，则显然有

　　　　　　a.  B(n, k)=0 (k>n)

　　　　　　b. B(n) = ΣB( n, k)  <k=1...n>

　　　　　　显然B(n, 1) = B(n, n) = 1

　　　　　　定理: B(n+k, n) = B(n, 1) + B(n, 2) + B(n, 3) + ... + B(n, n)

　　Ferrers图像：一个从上到下的n层格子，上面的格子个数不小于下面的格子个数。<证明无序分拆>

　　Catalan数列：C1 = 1

　　　　　　一般公式： Cn = 1/(n+1) * (2n)!/(n+1)!*n!

　　　　　　1.Cn+1 = C1*Cn + C2*Cn-1 + ... + Cn*C1

　　　　　　2.(n-3)*Cn = n/2 * (C3*Cn-1 + C4*Cn-2 + C5*Cn-3 + ... + Cn-2*C4 + Cn-1*C3)

　　错排：一个排列式中的所有元素都不在原来的位置上，则称这个排序为错排。

　　　　　　递推式： D(n) = (n-1)*(D(n-1) + D(n-1))  D(1)=0, D(2)=1  <n表示有多少个排错了>

　　概率：离散型随机变量X的取值为X1,X2,X3..Xn, P(X1),P(X2)...P(Xn)为对应的取值概率。

　　　　　　E(X) = X1*P(X1)+X2*P(X2)+...+Xn*P(Xn)