整数性质（拓展欧几里得算法）

整数性质

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难度：1

 

描述

我们知道，在数学中，对于任意两个正整数a和b，必定存在一对整数s、t使得sa+tb=gcd(a,b)。

 

输入

多组测试数据。
每组数据输入两个非负整数a和b且a+b>0且a不等于b。
其中0<=a,b<100000。

输出

输出满足条件的 s 和 t 。

样例输入

2 4
3 8
737 635

样例输出

1 0
3 -1
193 -224

//拓展欧几里得算法 
#include<stdio.h>
void gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    int k;
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return ;
    }
    else{
        gcd(b,a%b,x,y);
        k=x;
        x=y;
        y=k-a/b*y;
        return ;
    }
}
int main(){
    int a,b;
    while(scanf("%d %d",&a,&b)!=EOF){
        int x,y;
        gcd(a,b,x,y);
        printf("%d %d
",x,y);
    }
    return 0;
}

/*
扩展欧几里德定理

对于与不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数。那么存在唯一的整
数 x，y 使得 gcd（a，b）=ax+by。
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab<>0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以
结束。
*/
#include<stdio.h>
int s,t;
void f(int a,int b)
{
    int k;
    if(a==0){
        s=0;
        t=1;
        return;
    }
    else if(b==0){
        s=1;
        t=0;
        return;
    }
    else{
        f(b,a%b);
        k=s;
        s=t;
        t=k-a/b*t;
    }
}
int main()
{
    int a,b;
    while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
        f(a,b);
        printf("%d %d
",s,t);
    }
    return 0;
}

解题思路：（转载http://www.cnblogs.com/zyf0163/p/4792953.html）

相信大家对欧几里得算法,即辗转相除法不陌生吧。

代码如下：

 

而扩展欧几里得算法，顾名思义就是对欧几里得算法的扩展。

切入正题：

首先我们来看一个问题：

求整数x, y使得ax + by = 1, 如果gcd(a, b) != 1, 我们很容易发现原方程是无解的。则方程ax + by = 1有正整数对解（x, y)的必要条件是gcd(a, b) = 1,即a, b 互质。

此时正整数对解(x, y)可以通过扩展欧几里得算法求得。

对于方程ax + by = gcd(a, b)；我们设解为x₁,  y₁

我们令a = b, b = a % b;

得到方程bx + a % by = gcd(b， a % b);

由欧几里得算法可以得到gcd(a, b) = gcd(b, a % b);

代入可得：bx + a % b y = gcd(a, b)

设此方程解为x_2, y₂；

在计算机中我们知道： a % b = a - (a / b) * b;

代入方程化解得：

ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

与ax₁ + by₁ = gcd(a, b) 联立，我们很容易得：

x₁ = y₂, y₁ = x₂ - (a / b)y₂;

然后我们就这样可以解出来了。

等等我们似乎忘记一个东西了吧？对就是递归的终点。也就是最后方程的解x和y。

对于方程ay₂ + b(x₂ - (a / b) y₂) = gcd(a, b);

当b = 0时，发现a * 1 + b * 0 = gcd(a, b)

则有x = 1, y = 0。

由此我们把ax + by = 1的其中一组解解出来了， 仅仅是其中一组解。

对于已经得到的解x₁, y₁;我们便可以求出通解。

我们设x = x₁ + kt；t为整数

带入方程解得y = y₁ - a * k / b * t;

而我们要保证y也为整数的话必须保证a * k /b也为整数，我们不妨令k = b/gcd(a, b);

所以通解为：

x = x₁ + b / gcd(a, b) * t;

y = y₁ -  a / gcd(a, b) * t;

其中t为整数。

附上伪代码：