堆、堆排序和优先队列的那些事

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1. 什么是堆？

堆是一种数据结构，它是一颗完全二叉树。

堆分为最大堆和最小堆：

1. 最大堆：任意节点的值不大于其父亲节点的值。
2. 最小堆：任意节点的值不小于其父亲节点的值。

如下图所示，就是个最大堆：

注：本文中的代码实现是最大堆，最小堆的实现相似，不再冗赘。

2. 堆有什么用途？

堆最常用于优先队列以及相关动态问题。

优先队列指的是元素入队和出队的顺序与时间无关，既不是先进先出，也不是先进后出，而是根据元素的重要性来决定的。

例如，操作系统的任务执行是优先队列。一些情况下，会有新的任务进入，并且之前任务的重要性也会改变或者之前的任务被完成出队。而这个出队、入队的过程利用堆结构，时间复杂度是O(log2_n)。

3. 实现堆结构

3.1 元素存储

堆中的元素存储，一般是借用一个数组：这个数组是从 1 开始计算的。更方便子节点和父节点的表示。

3.2 入堆

入堆即向堆中添加新的元素，然后将元素移动到合适的位置，以保证堆的性质。

在入堆的时候，需要shift_up操作，如下图所示：

插入 52 元素后，不停将元素和上方父亲元素比较，如果大于，则交换元素；直到达到堆顶或者小于等于父亲元素。

3.3 出堆

出堆只能弹出堆顶元素（最大堆就是最大的元素），调整元素为止保证堆的性质。

在入堆的时候，需要shift_down操作，如下图所示：

已经取出了堆顶元素，然后将位于最后一个位置的元素放入堆顶（图中是16被放入堆顶）。

重新调整元素位置。此时元素应该和子节点比较，如果大于等于子节点或者没有子节点，停止比较；否则，选择子节点中最大的元素，进行交换，执行此步，直到结束。

3.4 实现优化

在优化的时候，有两个部分需要做：

1. swap操作应该被替换为：单次赋值，减少赋值次数
2. 入堆操作：空间不够的时候，应该开辟 2 倍空间，防止数组溢出

3.5 代码实现

// MaxHeap.h
// Created by godbmw.com on 2018/9/19.
//

#ifndef MAXHEAP_MAXHEAP_H
#define MAXHEAP_MAXHEAP_H

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <typeinfo>

using namespace std;

template <typename Item>
class MaxHeap {
private:
    Item* data; // 堆数据存放
    int count; // 堆目前所含数据量大小
    int capacity; // 堆容量大小

    void shift_up(int k) {
        Item new_item = this->data[k]; // 保存新插入的值
//      如果新插入的值比父节点的值小, 则父节点的值下移, 依次类推, 直到到达根节点或者满足最大堆定义
        while( k > 1 && this->data[k/2] < new_item ) {
            this->data[k] = this->data[k/2];
            k /= 2;
        }
        this->data[k] = new_item; // k就是 新插入元素 应该在堆中的位置
    }

    void shift_down(int k) {
        Item root = this->data[1];
//        在完全二叉树中判断是否有左孩子即可
        while(2*k <= this->count) {
            int j = k + k;
//            如果有右子节点，并且右节点 > 左边点
            if( j + 1 <= this->count && this->data[j + 1] > this->data[j]) {
                j += 1;
            }
//            root找到了堆中正确位置 k 满足堆性质, 跳出循环
            if(root >= this->data[j]) {
                break;
            }
            this->data[k] = this->data[j];
            k = j;
        }
        this->data[k] = root;
    }
public:
    MaxHeap(int capacity) {
        this->data = new Item[capacity + 1]; // 堆中数据从索引为1的位置开始存储
        this->count = 0;
        this->capacity = capacity;
    }
//    将数组构造成堆：heapify
    MaxHeap(Item arr[], int n) {
        this->data = new Item[n+1];
        this->capacity = n;
        this->count = n;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            this->data[i + 1] = arr[i];
        }
        for(int i = n/2; i >= 1; i--) {
            this->shift_down(i);
        }
    }
    ~MaxHeap(){
        delete[] this->data;
    }
//    返回堆中元素个数
    int size() {
        return this->count;
    }
//    返回布尔值：堆中是否为空
    bool is_empty() {
        return this->count == 0;
    }

//    向堆中插入元素
    void insert(Item item) {
        // 堆空间已满, 开辟新的堆空间.
        // 按照惯例，容量扩大到原来的2倍
        if(this->count >= this->capacity) {
            this->capacity = this->capacity + this->capacity; // 容量变成2倍
            Item* more_data = new Item[this->capacity + 1]; // data[0] 不存放任何元素
            copy(this->data, this->data + this->count + 1, more_data); // 将原先 data 中的有效数据拷贝到 more_data 中
            delete[] this->data;
            this->data = more_data;
        }
        this->data[this->count + 1] = item; // 插入堆尾部
        this->shift_up(this->count + 1); // 执行 shift_up，将新插入的元素移动到应该在的位置
        this->count ++;
    }

//    取出最大值
    Item extract_max() {
        assert(this->count > 0);
        Item ret = this->data[1]; // 取出根节点
        swap(this->data[1], this->data[this->count]); // 将根节点元素和最后元素交换
        this->count --; // 删除最后一个元素
        this->shift_down(1); // shift_down 将元素放到应该在的位置
        return ret;
    }
};
#endif //MAXHEAP_MAXHEAP_H

4. 堆排序

根据实现的MaxHeap类，实现堆排序很简单：将元素逐步insert进入堆，然后再extract_max逐个取出即可。当然，这个建堆的平均时间复杂度是O(n*log2_n)代码如下：

template <typename T>
void heap_sort1(T arr[], int n) {
    MaxHeap<T> max_heap = MaxHeap<T>(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        max_heap.insert(arr[i]);
    }
    for(int i = n -1; i >= 0; i--) {
        arr[i] = max_heap.extract_max();
    }
}

仔细观察前面实现的构造函数，构造函数可以传入数组参数。

//    将数组构造成堆：heapify
MaxHeap(Item arr[], int n) {
    this->data = new Item[n+1];
    this->capacity = n;
    this->count = n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        this->data[i + 1] = arr[i];
    }
    for(int i = n/2; i >= 1; i--) {
        this->shift_down(i);
    }
}

过程叫做heapify,实现思路如下：

1. 将数组的值逐步复制到this->data
2. 从第一个非叶子节点开始，执行shift_down
3. 重复第 2 步，直到堆顶元素

这种建堆方法的时间复杂度是: O(n)。因此, 编写heap_sort2函数：

//  建堆复杂度：O(N)
template <typename T>
void heap_sort2(T arr[], int n) {
    MaxHeap<T> max_heap = MaxHeap<T>(arr, n);
    for(int i = n -1; i >= 0; i--) {
        arr[i] = max_heap.extract_max();
    }
}

上面阐述的两种排序方法，借助实现的最大堆这个类，都需要在类中开辟this->data，空间复杂度为O(n)。其实，借助shift_down可以实现原地堆排序，代码如下：

// 这里的 swap 操作并没有优化
// 请对比 MaxHeap 中的 shift_down 函数
template <typename T>
void __shift_down(T arr[], int n, int k) {
    while( 2*k + 1 < n) {
        int j = 2 * k + 1;
        if( j + 1 < n && arr[j + 1] > arr[j]) {
            j += 1;
        }
        if(arr[k] >= arr[j]) {
            break;
        }
        swap(arr[k], arr[j]);
        k = j;
    }
}

//  原地堆排序
template <typename T>
void heap_sort3(T arr[], int n) {
    for(int i = (n -1)/2; i>=0; i--) {
        __shift_down(arr, n, i);
    }
    for(int i = n-1; i > 0; i--) {
        swap(arr[0], arr[i]);
        __shift_down(arr, i, 0);
    }
}

5. 测试

5.1 测试MaxHeap类

测试代码如下：

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include "MaxHeap.h"
#include "SortHelper.h"

#define HEAP_CAPACITY 10
#define MAX_NUM 100

using namespace std;

int main() {

    MaxHeap<int> max_heap = MaxHeap<int>(HEAP_CAPACITY);
    srand(time(NULL));
    for(int i = 0; i < HEAP_CAPACITY + 5; i++) { // 容量超出初始化时的容量。测试：自动
        max_heap.insert(rand() % MAX_NUM);
    }

    while( !max_heap.is_empty() ) {
        cout<< max_heap.extract_max() << " "; // 控制台输出数据是从大到小
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}

5.2 测试堆排序

借助前几篇文章的SortHelper.h封装的测试函数：

#include <iostream>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include "MaxHeap.h"
#include "SortHelper.h"

#define HEAP_CAPACITY 10
#define MAX_NUM 100

using namespace std;

int main() {
    int n = 100000;
    int* arr = SortTestHelper::generateRandomArray<int>(n, 0, n);
    int* brr = SortTestHelper::copyArray<int>(arr, n);
    int* crr = SortTestHelper::copyArray<int>(arr, n);
    SortTestHelper::testSort<int>(arr, n, heap_sort1<int>, "first heap_sort");
    SortTestHelper::testSort<int>(brr, n, heap_sort2<int>, "second heap_sort");
    SortTestHelper::testSort<int>(crr, n, heap_sort3<int>, "third heap_sort");
    delete[] arr;
    delete[] brr;
    delete[] crr;
    return 0;
}