整理自陈莉君（翻译深入理解Linux内核的作者）老师文章。
阿里2015笔试中有这样一道题目：
在一台主流配置的PC上，调用f(35)所需要的时间大概是（ ）。
int f(int x){
int s = 0;
while(x++ >0) s+= f(x);
return max(s,1);
}
A．几毫秒 B．几秒 C．几分钟 D．几小时
本题涉及到的知识点包括数据的表示和运算、时间复杂度。考查考生对带符号整数的表示、递归调用的执行过程、计算机系统性能、虚拟存储器、C语言语句等相关知识的理解和运用能力。
数学上的分析推导结果与计算机系统中的执行结果是有差异的。例如，在数学中一个数可以无限大，但在计算机中受表示位数的限制，数的值是有限的。用数学分析的方法，本题的递归是可以终止的，但受存储容量的限制，在计算机中递归调用时会有栈溢出的问题，导致程序不能正常执行结束。类似的问题还有很多，这是平时编程时需要注意的。
假设题目中的函数用C语言书写，要分析调用f(35)所需的时间，就得分析代码执行中循环执行次数和递归调用次数等，下面深入剖析f(35)执行过程中存在的问题。
注意：以下231为2的31次方。
（1）程序是否会终止？
调用f(35)时，入口参数x=35。从数学的角度理解while中的判断表达式“x++ >0”，会认为x在增量后永远大于0，这是一个永真式，从而做出错误结论：程序死循环。在计算机中数值是有范围的，int型数据用补码表示，占4个字节，能表示的最大正数是231-1 = 7FFF FFFFH。231的机器数是8000 0000H，其值为int型，能表示的最小负数-2147483648，因此当x = 8000 0000H 时，x > 0的值为假，程序退出while循环，因此，若不考虑栈溢出，则程序能执行结束。
（2）使递归终止的最大x值是多少？
while(x++ >0)语句在Microsoft VC中的机器代码如下，该语句的执行过程是：先把x的值分别保存到EDX和EAX寄存器；然后对EAX寄存器内容加1，以实现x = x+1操作；最后再用EDX的内容（x的旧值）进行x>0的条件判断。
mov edx, dword ptr [ebp+8]
mov eax,dword ptr [ebp+8]
add eax, 1
mov dword ptr [ebp+8], eax
test edx, edx
jle f+77h (00401097)
因此，当调用f(231-1)时，x = 231-1=7FFF FFFFH，先执行x=7FFF FFFFH+1 = 8000 0000H=231，然后，用旧的x=7FFF FFFFH与0比较，比较结果为真，故执行while循环体，在循环体中调用f(231)。
调用f(231)时，x为231 = 8000 0000H，其真值为负数，因此，与0比较的结果为假，故跳出while循环体，程序结束。
综上所述，使递归终止的最大x值是231，即执行f(231)时结束递归调用。
（3）函数f(x)的递归调用情况如何？
f(x)是一个递归调用过程，并且递归调用在循环体内，因此调用关系较复杂。图1显示了f(231-4)执行中的递归调用情况。
图1 f(231-4)执行中的递归调用情况
在f(x)执行过程中，把执行f(x)过程体的总次数记为f(x)执行次数，把一次递归调用的最大次数记为f(x)递归深度。表1给出了x为不同值时，执行f(x)的次数和递归深度。这两个参数显示了f(x)函数的执行过程。
表1 x为不同值时，f(x)执行的次数和递归调用深度
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f(x)执行次数 |
递归深度 |
|
|
f(231) |
1 |
1 |
|
f(231-1) |
2 |
2 |
|
f(231-2) |
4 |
3 |
|
f(231-3) |
8 |
4 |
|
f(231-4) |
16 |
5 |
|
…… |
…… |
…… |
|
f(231-n) |
2n |
n+1 |
|
f(35)=f(231-2147483613) |
22147483613 |
2147483614 |
（4） 递归调用过程的执行情况
系统会给每一个用户进程分配存放代码和数据的用户空间，用户空间中的栈区用来存放程序运行时过程调用的参数、返回地址、过程局部变量等。随着程序的执行，栈区不断动态地从高地址向低地址增长或向反方向减退。
用户栈由若干个栈帧组成，每个过程对应一个栈帧，帧指针寄存器EBP指定一个栈帧的起始地址，栈指针寄存器ESP指向栈顶，当前栈帧的范围在EBP和ESP指向的区域之间。过程执行时，由于不断有数据入栈，所以栈指针ESP会动态移动，而帧指针EBP固定不变。在一个过程内对栈中信息的访问大多通过帧指针EBP进行。
IA-32规定，寄存器EAX、ECX和EDX是调用者保存寄存器，EBX、ESI、EDI寄存器是被调用者保存寄存器。若过程P调用过程Q时，P在需要时先在自己的栈区保存EAX、ECX和EDX、入口参数和返回地址，接着跳转到Q执行。Q在自己的栈帧中先保存P的EBP值，并设置EBP指向当前Q栈帧的栈低，根据需要保存EBX、ESI、EDI，再在栈中给Q的局部变量分配空间。
在递归调用执行中，每个递归调用过程都有一个栈帧。栈帧中可能包含如图2所示的信息。
|
…… |
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调用者的EBP值 |
|
调用者的EBX、ESI、EDI |
|
过程局部变量 |
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自己的EAX、ECX和EDX |
|
入口参数n …… 入口参数1 |
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返回地址 |
图2 一次递归调用中的栈帧
图3显示了在windows系统中f(x)函数调用时的部分机器指令。可以看出f(x)的栈帧至少有84B。系统分配给一个进程的用户栈只有有限的空间，因此，递归调用的次数是有限的。f(35)的递归深度是2147483614，即至少需要2147483614×84字节，即大于170GB的栈帧空间。在32位系统中，最大虚拟地址空间仅有4GB，用户栈只是其中的一部分，所以f(35)在执行过程中会出现栈溢出的现象。
图3 f(x)函数调用时的部分机器指令
（5） f(35)在32位系统中的实际执行情况
假设在Intel x86+windows+VC+C语言环境中执行f(35)。VC中默认分配栈的大小是1MB，虽然用户可以调整栈大小，但栈的容量是有限的。按2MB的栈空间、栈大小按80字节计算：2MB÷80B≈26214，因此f(x)递归调用的次数不会超过26214-1=26213次。从图4.9中可以看出，栈溢出时，f(x)函数体最多执行26213次。栈溢出时每个f(x)函数体只在while语句中执行，假设每个f(x)函数体执行100条指令，即使指令平均CPI为3，时钟频率为2.4GHz，f(35)的执行时间也只有26213×100×3÷2.4GHz ≈3.2 ms左右时间。
对f(35)的执行做了测试，在栈大小是1MB时，递归调用11244次后栈溢出；在栈设置为2MB时，递归调用22642次后栈溢出，显然运行时间只有几毫秒。在Microsoft VisualStudio 2012环境中运行，出现如图4所示结果，表明出现了栈溢出（Stack overflow）。
综上所述，答案为A。
以上整理自陈莉君老师的文章。对于其中不容易理解的图1 f(231-4)执行中的递归调用情况这里给出注释：
对于递归在循环体内我们可以把循环展开，这种情况是先循环再递归：
while(x++ >0) s+= f(x);
等价写法(当x=0x80000000-2)：
if(0x80000000 -2 >0) { // if(x >0)
0x80000000-1; //x++
s+=f(0x80000000-1); //f(x)
}
if(0x80000000-1 > 0) {
0x80000000;
s+=f(0x80000000);
}