P3306 [SDOI2013] 随机数生成器

题目描述：

洛谷

最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 (p) 页，页码范围为 (0 sim p-1)。

小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 (x_i) 来表示通过这种方法生成出来的第 (i) 个数，也即小 W 第 (i) 天会读哪一页。这个方法需要设置 (3) 个参数 (a,b,x_1)，满足 (0leq a,b,x_1lt p)，且 (a,b,x_1) 都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：

$x_{i+1} equiv a imes x_i+b pmod p $

其中 ( mod) 表示取余操作。

但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。

小 W 要读这本书的第 (t) 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 (t) 页，或者指出他永远不会读到第 (t) 页。

数据范围：(1leq Tleq 50), (0 leq a, b, x_1, t lt p), (2 leq p leq 10^9), (p) 为质数。

solution

我们尝试打一下表，找找规律：

(x_2 = ax_1 + b)

(x_3 = a^2x_1 + ab + b)

(x_4 = a^3x_1 + a^2b + ab + b)

(x_5 = a^4x_1 + a^3b + a^2b + ab + b)

(x_6 = a^5x_1 + a^4b + a^3b + a^2b + ab + b)

不难发现： (x_n = a^{n-1}x_1 + displaystylesum_{i=0}^{n-2} a^ib, (x gt 1))

根据等比数列的求和公式则有： (displaystylesum_{i=0}^{n-2} a^ib = b{1-a^{n-1}over 1-a}) 。

带入可得：(x_n = a^{n-1}x_1 + {bover 1-a} (1-a^{n-1})) 。

化简一下：

(x_n = a^{n-1}x_1 + {bover 1-a} (1-a^{n-1}))

(x_n = a^{n-1}x_1 - a^{n-1}{bover 1-a} + {bover 1-a})

设 (B = {bover 1-a}), 则原式可以化为：

(x_n = (x_1-B) a^{n-1} + B)

(ecause x_n equiv t)

( herefore (x_1-B) a^{n-1} + Bequiv t) 。

( herefore (x_1-B)a^{n-1} equiv t-B pmod p)

( herefore a^{n-1} equiv {t-Bover x_1-B} pmod p)

用 (BSGS) 算法求解即可。

几个需要特判的点 (被卡到吐)：

• 当 (x_1 = t) 的时候，直接输出 (1)
• 当 (a = 0) 的时候，如果 (t = b) 输出 (1) , 反之输出 (-1)
• 当 (a = 1) 的时候, 如果 (b = 0) 且 (x eq t) 输出 (-1), 否则输出 ((t-x) over b)

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<cmath>
using namespace std;
#define int long long
int T,a,b,p,x,t;
inline int read()
{
    int s = 0, w = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9'){if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
    while(ch >= '0' && ch <= '9'){s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return s * w;
}
int ksm(int a,int b)
{
	int res = 1;
	for(; b; b >>= 1)
	{
		if(b & 1) res = res * a % p;
		a = a * a % p; 
	}
	return res;
}
int BSGS(int a,int b,int p)
{
	map<int,int> hash;
	int m = sqrt(p) + 1;
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		int val = b * ksm(a,i) % p;
		hash[val] = i;
	}
	a = ksm(a,m);
	for(int i = 0; i <= m; i++)
	{
		int val = ksm(a,i);
		int j = hash.find(val) == hash.end() ? -1 : hash[val];
		if(j > 0 && i * m - j > 0) return i * m - j;
	}
	return -1;
}
signed main()
{
	T = read();
	while(T--)
	{
		p = read(); a = read(); b = read(); x = read(); t = read();
		if(x == t){printf("%d
",1); continue;}
		if(a == 0)
		{
			if(t == x) printf("%d
",1);
			else if(t == b) printf("%d
",2);
			else printf("%d
",-1);
			continue; 
		}
		if(a == 1)
		{
			if(b == 0 && x != t) printf("%d
",-1);
			else printf("%lld
",(((t-x+p)%p)*ksm(b,p-2)%p)+1);
			continue;
		}
		int tmp = (1 - a + p) % p;
		int inv = ksm(tmp,p-2);
		t = (t - (b * inv % p) + p) % p;
		x = (x - (b * inv % p) + p) % p;
		t = t * ksm(x,p-2) % p;
		int ans = BSGS(a,t,p);
		if(ans == -1) printf("%d
",-1);
		else printf("%lld
",ans+1); 
	}
	return 0;