差分约束系统

差分约束系统只是对最短路算法的一种应用，没有什么新的算法，只是对于具体问题的建图方法的确定

差分约束系统解决的问题是不等式组的求解：

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

这就是一个不等式组，给出的不等式组只存在小于等于号，如果有个别的式子是大于等于，我们可以通过两边同时乘-1的得到统一的不等号方向的不等式组。

这个不等式组一定是无解和无数解两种情况，因为如果是存在任意一组解，{x1,x2,x3,x4,x5},我们都可以通过{x1+k,x2+k,x3+k,x4+k,x5+k}得到一个新的解。所以解的个数是无数的。

因为每个数都加k，他们任意两个数之间的差是不变的，所以对于不等式没有影响。

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与最短路联系

B - A <= c     (1)

C - B <= a     (2)

C - A <= b     (3)

 如果要求C-A的最大值，可以知道max（C-A）= min(b,a+c),而这正对应了下图中C到A的最短路。 

差分约束建图技巧

1.对于一个全部都是<=号的不等式组，我们可以将每个式子转化为Xi<=Xj+W(i,j),那么就建一条边，Xj->Xi=W(i,j),然后利用最短路径解决问题，在x0定死的情况下，求得最小值

2.对于一个全部都是>=号的不等式组，我们可以将每个式子转化为Xi>=Xj+W(i,j),那么就建一条边，Xj->Xi=W(i,j),然后利用最长路径解决问题，在x0定死的情况下，求得最大值

如果dis[Xi]为inf或-inf,那么Xi为任意解

如果求最短路的过程中出现负环，那么说明该不等式组无解

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来看看一道例题

【代码实现】

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
const int INF=1e9+7;
struct sd{
    int to,ww,next;
}edge[maxn<<1];
queue<int> que;
int dis[maxn],num[maxn],head[maxn],n,m,cnt;
bool vis[maxn];
void add_edge(int a,int b,int ww)
{
    edge[++cnt].next=head[a];
    edge[cnt].to=b;
    edge[cnt].ww=ww;
    head[a]=cnt;
}
bool spfa()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=1,vis[i]=1,que.push(i);
    while(!que.empty())
    {
        int v=que.front();que.pop();vis[v]=0;
        for(int i=head[v];i;i=edge[i].next)
        {
            int to=edge[i].to;
            if(dis[to]<dis[v]+edge[i].ww)
            {
                dis[to]=dis[v]+edge[i].ww;
                if(!vis[to]) 
                {
                    if(++num[to]>n) return false;
                    vis[to]=1,que.push(to);
                }
            }
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    int ord,a,b;
    long long ans=0;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&ord,&a,&b);
        if(ord==1) add_edge(a,b,0),add_edge(b,a,0);
        if(ord==2) {if(a==b){printf("-1");return 0;}add_edge(a,b,1);}
        if(ord==3) add_edge(b,a,0);
        if(ord==4) {if(a==b){printf("-1");return 0;}add_edge(b,a,1);}
        if(ord==5) add_edge(a,b,0);
    }
    if(!spfa()) {printf("-1");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=dis[i];
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}