欧拉函数

 我们来看看一个问题

任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）

计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。

第一种情况

如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。

第二种情况

如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

第三种情况

如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则

比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、...、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。

上面的式子还可以写成下面的形式：

可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。

第四种情况

如果n可以分解成两个互质的整数之积，

　　n = p1 × p2

则

　　φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)

即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。

第五种情况

因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。

根据第4条的结论，得到

再根据第3条的结论，得到

也就等于

这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：

那我们怎么实现线性筛欧拉函数呢？

让我们分情况讨论一下

1.对于phi[i] 若i为一个素数，那么phi[i]=i-1。这个很简单，因为除了i以外，其余1——i-1 都与i互质。

2.若i=p^k 那么phi[i]=(p^(k-1)-1)*p(根据性质3)。

3.若i=p*j，p为素数 j mod p==0  phi[j*p]=p*phi[j] 证明如下：（看了很多博客，这个证明都是略。。。一点都不清真，这个证明是最难的,当然是转载的，感觉写得很有道理的样子）

4.若i=p*j，p为素数 j mod p！=0 很好那么根据性质5 phi[p*j]=phi[p]*phi[j];

【代码实现】

int phi[maxn],p[maxn];
bool vis[maxn];
void getphi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]) {p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;}
        for(int j=1;j<=p[0];j++)
        {
            int t=p[j]*i;if(t>n) break;vis[t]=1;
            if(i%p[j]==0) {phi[t]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[t]=phi[p[j]]*phi[i];
        }
    }
}