这几天genius都在学习斜率优化，看了一些大佬的博客，初学时感觉斜率优化是一个蛮难懂的姿势（废话，省选内容不难懂有鬼啊??!!）
在这里写一篇博客为了记载一下学习历程，害怕自己以后忘了，不敢说能让读者彻底明白（不过相信各位都是大佬），如果能让读者受益，那是再好不过的。
这里感谢网上某位大佬博客的支持
这里将斜率优化分为数，形两类来进行理解，读者可以选择适合自己的方式来理解
【数】
对于某一类型的dp方程
f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])
其中a[x],b[x],c[x],d[x]是关于x的函数，且b单增。——————【1】
按照一贯的套路，先数学归纳法证明决策单调性。
1.归纳假设：
假设有i前两个决策点j,k(j<k)，且k的决策要比j好，即：
a[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<k——————【2】
2.归纳推理：
此时后面有状态i+1，这里我们为了简单起见，不妨设a[i+1]=a[i]−v,v>0，也就是a单调递减。
即证：a[i+1]∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=a[i+1]∗b[k]+c[k]+d[i+1]
(a[i]−v)∗b[j]+c[j]+d[i+1]>=(a[i]−v)∗b[k]+c[k]+d[i+1]
化简得：a[i]∗b[j]+v∗b[k]+c[j]>=a[i]∗b[k]+v∗b[j]+c[k]
由【2】得：a[i]∗b[j]+c[j]>=a[i]∗b[k]+c[k]
由【1】得：b[k]>b[j]
又∵v>0
∴v∗b[k]>=v∗b[j]
得证
所以，决策单调性是存在的。我们将由决策单调性得出的式子展开，化成斜率式：
a[i]∗b[j]+c[j]+d[i]>=a[i]∗b[k]+c[k]+d[i]，j<k
−a[i]>=c[k]−c[j]b[k]−b[j]
记斜率
slope(i,j)=c[k]−c[j]b[k]−b[j]
然后发现这个东西很符合单调队列的尿性：
- −a[i]>=slope(q[l],q[l+1])。因为q[l]在q[l+1]之前加入，那么显然这个式子就表示q[l]决策不如q[l+1]优，我们可以将队首pop掉。
- slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。假设我们在后面存在一个a[t]使得−a[t]>=slope(q[r−1],q[r])那么等到pop了q[r−1]之后，−a[t]一定也会>=slope(q[r],i)，q[r]也会被pop。所以说q[r]实际上是无用的，我们可以直接将它pop掉。
问题就这样优化到了O(n)。
【形】
dp方程：
f[i]=Min(a[i]∗b[j]+c[j]+d[i])，b[j]单增
我们这里沿用上面“数”的条件：a单减，b单增。
移项：
−a[i]∗b[j]+f[i]=c[j]+d[i]
是不是很像直线的斜截式：−a[i]为直线的斜率；直线过点：(b[j],c[j]+d[i]) f[i]即为直线在Y轴上的截距。
可以看出，因为f[i]要尽可能小，所以我们把之前小于i的j画在平面直角坐标系上，一如线性规划，把这条斜线自下往上平移时遇到的第一个点，即能使目前状态有最小值的点。于是我们需要维护一个下凸壳，把那些肯定不会贡献的点删掉。
我们用一个单调队列维护这个凸壳，因为要保证凸壳的下凸性，所以我们显然可以得到单调队列pop队尾的条件：slope(q[r−1],q[r])>slope(q[r],i)。
考虑什么情况下pop队首元素（这里我们的讨论都是基于f[i]取最小值的情况下的）：
- 斜率−a[i]单增（因为a单减）。−a[i]>slope(q[l],q[l+1])。
- 斜率不单调。无法pop队首，二分或者三分查找队列中的最优解。二分做法：假设你要在上凸包上二分找斜率为k的切线。取中间的mid号点，如果mid+1存在且与mid点的斜率小于k，则l=mid+1；如果mid−1存在且与mid点的斜率大于k，则r=mid−1；如果上面两条都不满足，则mid就是切点。
不错，你一定已经发现第一种情况所对应的维护方式不是跟之前所说“数”的单调队列维护方式一模一样吗，没错，其实这只是两种不同的解题方式所得出来的同样的结果。
两种方法各有优缺点吧，“形”的角度比较方便理解，对于更高深的cdq分治维护凸包可以比较清晰的了解。但是遇到复杂的dp方程以及决策单调性证明就得靠“数”了（比如国王饮水记），看情况使用吧。
之前说的决策单调性是斜率优化的基础这句话其实并不严谨，像这种从图形角度来求解的斜率优化就并没有用到决策单调性。想一想如果能证明决策单调性，那么一定就是对a和b的单调性有要求的，否则的话就是什么斜率不单调啦，在凸包上二分啦什么的。
这就是斜率优化啦。
【个人一点小见解】
1.个人认为斜率优化的数的方式是比较好理解的，我们每次找到动态规划的状态转移方程后就可以直接转换
2.斜率优化只适用于具有单调性的转移方程，即最后简化后的等式左右中的一方必定有一个是给定单调的函数，譬如前缀和。
3.每次斜率优化都要设更优解的自变量，然后用更优解来维护斜率
4.保证储存斜率的队列单调
5.很值得注意到一点，对于初学者而言我们可能会想，为什么可以把斜率转换成这样的形式，其实不然，斜率的形式并不唯一，我们不需要去刻意仿照别人的斜率等式，只要二者等价，即都可以求出正解（具体可参见题解报告——特别行动队）
6.注意正负，可以看见斜率的会有除法运算，记得不等式除负数时要变号（可能就我这么傻，不会变号），不然公式推错那就GG了
7.最后就是要在做题中理解斜率优化的妙用，可以参考一下他人的代码，或许会大有启发。