【题解】Luogu Osu！三题 期望

打开某谷，搜索osu

Luogu P1654

Luogu CF235B 

Luogu P1365

先%本机房的真·Osu！神仙 STO superminivan ORZ 

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三道题都差不多，就当三倍经验了

P1365 题解

大力推式子

设$f[i]$表示以$i$结尾的期望得分，$len$为期望连续的$o$的个数

分类讨论：

①当前字母为$o$时，$f[i]=f[i-1]+((len+1)^2-len^2)$ 此时$len+1$

化简 $=>$ $f[i]=f[i-1]+2*len+1$

②当前字母为$x$时，$f[i]=f[i-1]$ 此时$len=0$ 

③当前字母为?时，为$(①+②)/2$

也就是 $f[i]=f[i-1]+len+0.5$

整理变成$f[i]=f[i-1]+(2*len+1)*p[i]$

其中$p[i]$就是i位置出现o的期望

$o$  $p[i]=1$

$x$  $p[i]=0$

$?$  $p[i]=0.5$

再看$len$怎么维护，设$x[i]$表示$i$结尾的最后一段连续$o$的个数

同样可以转化为$x[i]=(x[i-1]+1)*p[i]$

综上，转移方程为

$$f[i]=f[i-1]+(2*x[i]+1)*p[i]$$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod=1e4;
const int maxn=1e6+10;
namespace gengyf{
inline int read(){
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return f*x;
}
double f[maxn],p[maxn],x[maxn];
string s;int n;
int main(){
    n=read();cin>>s;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(s[i]=='o')p[i+1]=1.0;
        if(s[i]=='x')p[i+1]=0.0;
        if(s[i]=='?')p[i+1]=0.5;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        f[i]=f[i-1]+(x[i-1]*2+1.0)*p[i];
        x[i]=(x[i-1]+1.0)*p[i];
    }
    printf("%.4lf",f[n]);
    return 0;
}
/*
 aggressive 有进取心的
 alert 机敏的
 alliance 联盟
 alter 修改
*/
}
signed main(){
    gengyf::main();
    return 0;
}

CF235B 

没有$?$且给出出现不同字符的概率，方程同上

code 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod=1e4;
const int maxn=1e6+10;
namespace gengyf{
inline int read(){
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return f*x;
}
double f[maxn],p[maxn],x[maxn];
string s;int n;
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&p[i]);
        f[i]=f[i-1]+(x[i-1]*2+1.0)*p[i];
        x[i]=(x[i-1]+1.0)*p[i];
    }
    printf("%.15lf",f[n]);
    return 0;
}
/*
 aggressive 有进取心的
 alert 机敏的
 alliance 联盟
 alter 修改
*/
}
signed main(){
    gengyf::main();
    return 0;
}

P1654

没有$?$，平方变成三次方

我:这还不简单，把$(len+1)^2-len^2$改成$(len+1)^3-len^3$不就行了

???怎么连样例都没过

蒟蒻眉头一皱发现事情并不简单

重新推一下式子：

$f[i]=f[i-1]+((len+1)^3-len^3)$  $=>$  $f[i]=f[i-1]+3*(len^2+len)+1$

发现化简后的式子里既有二次项也有一次项

需要分别维护

$x[i]$表示一次项的期望，$y[i]$表示二次项的期望

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int mod=1e4;
const int maxn=1e6+10;
namespace gengyf{
inline int read(){
    int x=0,f=1;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9'){x=x*10+s-'0';s=getchar();}
    return f*x;
}
double f[maxn],p[maxn],x[maxn],y[maxn];
string s;int n;
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf",&p[i]);
        x[i]=(x[i-1]+1.0)*p[i];
        y[i]=(y[i-1]+2.0*x[i-1]+1)*p[i];
        f[i]=f[i-1]+(3.0*(y[i-1]+x[i-1])+1)*p[i];
    }
    printf("%.1lf",f[n]);
    return 0;
}
/*
 aggressive 有进取心的
 alert 机敏的
 alliance 联盟
 alter 修改
*/
}
signed main(){
    gengyf::main();
    return 0;
}