题目大意
Codeforces 841C Leha and Function.
令(F(n,k))为在集合({x|x in [1,n]})中选择一个大小为k的子集，最小元素的期望值。
给定数组(a_i,b_i),满足(forall_{i,j}a_i geqslant b_j).求出(a_i)的一个排列(a'_i),使得(sum_{i} F(a_i,b_i))最大。
朱世杰恒等式
在这里介绍一个非常有用的关于组合数求和的公式——朱世杰恒等式(i.e. Hockey-stick identity):
[sum_{i=m}^{n}dbinom{i}{k} = dbinom{n+1}{k+1} - dbinom {m}{k+1}
]
当(m=k)时:
[sum_{i=m}^n dbinom{i}{m} = dbinom {n+1}{m+1}
]
不失一般性，对于特殊情况作出证明，容易推广到第一个式子。
证明
对(n)施用数学归纳法。
当(n=m)时, 显然成立.
对于(n-1 geqslant m), 假设对于(n-1)成立, 那么:
(sum_{i=m}^{n-1} dbinom im = dbinom {n}{m+1}).
(sum_{i=m}^n dbinom im = dbinom{n}{m+1} + dbinom {n}{m} = dbinom {n+1}{m+1})
Q.E.D.
其他证明方法见维基百科
关于F(n,k)的推演
在比赛中, 我首先得到了(F(n,k))的递推式:
[F(n,k) = frac kn F(n-1, k-1) + (1-frac kn) F(n-1, k)$$.
我们可以使用强数学归纳法证明:
$$F(n,k) = frac {n+1}{k+1}$$.
不过, 有一个更为简单的方法:
显然,
$$F(n,k) = frac {1}{dbinom{n}{k}}sum_{i=1}^n i dbinom{n-i}{k-1} ]
而:
[sum_{i=1}^n idbinom{n-i}{k-1} = sum_{i=1}^{n-k+1}sum_{j=1}^{n-k+1}dbinom{n-j}{k-1}\=sum_{i=1}^{n-k+1}sum_{j=k-1}^{n-i}dbinom{j}{k-1} \=sum_{i=1}^{n-k+1} dbinom{n-i+1}{k}\=sum_{i=k}^{n}dbinom{i}{k} = dbinom{n+1}{k+1}
]
于是:
(F(n,k) = frac{dbinom{n+1}{k+1}}{dbinom{n}{k}} = frac {n+1}{k+1}).
Q.E.D.
关于贪心的证明
那么问题就变成了:
给定数组(a_i, b_i),
[max sum_{i=1}^n frac{a_i+1}{b_i + 1}$$.
我们证明, 给较大的$a_i$应搭配较小的$b_i$.
对于$0 leqslant a_1 leqslant a_2, 0 leqslant b_1 leqslant b_2$, 我们证明
$a_1b_1 + a_2b_2 leqslant a_1b_2 + a_2b_1$.
我们可以做差证明上面的式子.
那么我们可以使用证明贪心的常用方法,交换法(i.e. 冒泡排序法)来证明贪心的correctness.
## 算法
经过上面的推演,我们终于得到了这个问题的标算:
把b数组从小到大排序,a数组从大到小排序,一一对应即可.
然而,在比赛中,样例却直接给除了解法,令人遗憾.
比赛的时候推了很久，虽然早就知道贪心做法.
## 参考文献
[1. AoPC中关于组合数性质的阐述](http://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Combinatorial_identity#Hockey-Stick_Identity)
[2. AoPC中IOI 1981,第二题的题解](https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=1981_IMO_Problems/Problem_2)
[3. 维基百科中的资料](https://en.wikipedia.org/wiki/Hockey-stick_identity)]